《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

11. 已知下列等式：
①$1^{3}= 1^{2}$；②$1^{3}+2^{3}= 3^{2}$；③$1^{3}+2^{3}+3^{3}= 6^{2}$；④$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 10^{2}$；…。由此规律知,第⑤个等式是$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$。

答案： $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$

12. 计算：
(1)$-2^{2}×(-\frac{1}{2})^{2}÷0.8^{3}$；
(2)$(-3)^{3}×(-\frac{32}{25})÷(-4^{2})×(-1)^{25}$；
(3)$4-(-2)^{2}-3^{3}÷(-1)^{2027}+0×(-2)^{3}$。

答案：
(1)原式$=-4× \frac{1}{4}÷ \left(\frac{4}{5}\right)^{3}=-1÷\frac{64}{125}=-1× \frac{125}{64}=-\frac{125}{64}$。
(2)原式$=3^{3}× \frac{32}{25}÷ 4^{2}× 1=27× \frac{32}{25}×\frac{1}{16}× 1=27× \frac{2}{25}=\frac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷ (-1)+0=0-27× (-1)+0=27$。

13.【数学应用】科学家研究发现,每公顷森林每天可以吸收二氧化碳约1 500 kg,某人造林累计面积达48 000 000公顷,那么该人造林每天可以吸收二氧化碳多少吨？(用科学记数法表示)

答案： 解:$1500× 48000000=7.2× 10^{10}(kg)=7.2× 10^{7}(t)$。

14. 计算：$15^{2}= $225；$25^{2}= $625；$35^{2}= $1225；$45^{2}= $2025；$55^{2}= $3025。
(1) 你发现了什么规律？
(2) 不用计算器直接写出$85^{2},95^{2}$的结果。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^{2}=7225$,$95^{2}=9025$。

答案： 225 625 1 225 2 025 3 025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^{2}=7225$,$95^{2}=9025$。

15.【综合与实践】已知：$(a×b)^{2}= a^{2}×b^{2}$；$(a×b)^{3}= a^{3}×b^{3}$；$(a×b)^{4}= a^{4}×b^{4}$。
(1) 用特例验证上述等式是否成立(取$a= 1,b= -2$)。
(2) 猜想：$(a×b)^{100}=$$a^{100}× b^{100}$；$(a×b)^{n}=$$a^{n}× b^{n}$。
(3) 上述性质可以用来进行积的乘方运算,反之依然成立,即$a^{n}×b^{n}= (a×b)^{n}$,计算：$(-\frac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$。
$\left(-\frac{1}{6}\right)^{2026}× 6^{2027}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{2026}× 6^{2026}×6=\left(-\frac{1}{6}× 6\right)^{2026}× 6=6$。

答案：
(1)略
(2)$a^{100}× b^{100}$ $a^{n}× b^{n}$
(3)$\left(-\frac{1}{6}\right)^{2026}× 6^{2027}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{2026}× 6^{2026}×6=\left(-\frac{1}{6}× 6\right)^{2026}× 6=6$。