《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

10. 与$2÷3÷4$的运算结果相同的是(B)。
A.$4÷2÷3$
B.$2÷(3×4)$
C.$2÷(3÷4)$
D.$3÷2÷4$

答案： B

11. 计算：
(1)$\dfrac{29}{8}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)÷\left(-\dfrac{7}{24}\right)$；
(2)$(-5)÷(-0.2)×\left(-\dfrac{2}{7}\right)+\left|-\dfrac{1}{7}\right|$；
(3)$\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)÷\left(-\dfrac{1}{60}\right)$。

答案： 解:
(1)原式$=\frac{29}{8}-\frac{5}{6}× \frac{24}{7}=\frac{29}{8}-\frac{20}{7}=\frac{43}{56}$。
(2)原式$=-5× 5× \frac{2}{7}+\frac{1}{7}=-\frac{50}{7}+\frac{1}{7}=-\frac{49}{7}=-7$。
(3)原式$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5})× (-60)=-30+20-15+12=-13$。

12. (1)一个数的$\dfrac{17}{5}倍是-6$,求这个数；
(2)一个数与$\dfrac{7}{3}的积是-\dfrac{46}{7}$,求这个数。

答案： $(1)$
解：设这个数为$x$。
已知一个数的$\dfrac{17}{5}$倍是$-6$，可列方程$\dfrac{17}{5}x = - 6$。
根据等式的性质，求解$x$，$x=-6÷\dfrac{17}{5}$。
根据除法运算法则$a÷ b=a×\dfrac{1}{b}(b\neq0)$，则$x=-6×\dfrac{5}{17}=-\dfrac{30}{17}$。
$(2)$
解：设这个数为$y$。
已知一个数与$\dfrac{7}{3}$的积是$-\dfrac{46}{7}$，可列方程$\dfrac{7}{3}y = -\dfrac{46}{7}$。
根据等式的性质，求解$y$，$y = -\dfrac{46}{7}÷\dfrac{7}{3}$。
根据除法运算法则$a÷ b=a×\dfrac{1}{b}(b\neq0)$，则$y=-\dfrac{46}{7}×\dfrac{3}{7}=-\dfrac{138}{49}$。
综上，$(1)$这个数是$-\boldsymbol{\dfrac{30}{17}}$；$(2)$这个数是$-\boldsymbol{\dfrac{138}{49}}$。

13. 【数学应用】若“！”表示一种新运算,并且$1!= 1$,$2!= 2×1$,$3!= 3×2×1$,则$100!÷99!$的运算结果是多少？

答案： 解:100!÷99!=100×99!÷99!=100。

14. 【综合与实践】阅读下列材料：
计算：$\dfrac{1}{24}÷\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)$。
解法一：原式$=\dfrac{1}{24}÷\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{24}÷\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{24}÷\dfrac{1}{12}= \dfrac{1}{24}×3-\dfrac{1}{24}×4+\dfrac{1}{24}×12= \dfrac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数$=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)÷\dfrac{1}{24}= \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)×24= 24×\dfrac{1}{3}-24×\dfrac{1}{4}+24×\dfrac{1}{12}= 4$,所以原式$=\dfrac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同,解法一是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：$\left(-\dfrac{1}{42}\right)÷\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}\right)$。
解：原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})=\frac{1}{6}× (-42)-\frac{3}{14}× (-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}× (-42)=-7+9-28+12=-14$，所以原式$=-\frac{1}{14}$。

答案： 解:
(1)一
(2)原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})=\frac{1}{6}× (-42)-\frac{3}{14}× (-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}× (-42)=-7+9-28+12=-14$，所以原式$=-\frac{1}{14}$。

15. 【数学应用】有若干数,第1个数记为$a_1$,第2个数记为$a_2$……第$n个数记为a_n$。若$a_1= \dfrac{1}{2}$,从第2个数起,每个数都等于1与前面那个数的差的倒数,试计算$a_2= $2,$a_3= $-1,$a_4= $$\frac{1}{2}$,$a_{2027}= $2。

答案： 本题可根据已知条件依次求出$a_2$、$a_3$、$a_4$的值，再找出数列的循环规律，进而求出$a_{2027}$的值。
- **步骤一：求$a_2$的值
已知从第$2$个数起，每个数都等于$1$与前面那个数的差的倒数，且$a_1 = \dfrac{1}{2}$，那么$a_2$的值为：
$a_{2}=\dfrac{1}{1 - a_{1}}=\dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$
- **步骤二：求$a_3$的值
因为$a_2 = 2$，所以$a_3$的值为：
$a_{3}=\dfrac{1}{1 - a_{2}}=\dfrac{1}{1 - 2}=\dfrac{1}{-1} = - 1$
- **步骤三：求$a_4$的值
由于$a_3 = - 1$，则$a_4$的值为：
$a_{4}=\dfrac{1}{1 - a_{3}}=\dfrac{1}{1 - (-1)}=\dfrac{1}{2}$
- **步骤四：找出数列的循环规律并求$a_{2027}$的值
通过前面的计算可知$a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_2 = 2$，$a_3 = - 1$，$a_4=\dfrac{1}{2}$，可以发现数列是以$\dfrac{1}{2}$，$2$，$-1$这三个数依次循环的。
计算$2027÷3$＜|FunctionExecute|＞{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"QuotientRemainder[2027,3]"}}＜|FunctionExecuteEnd|＞＜|FunctionExecuteResult|＞{675, 2}＜|FunctionExecuteResultEnd|＞$= 675\cdots\cdots2$，其中$675$是商，$2$是余数。
这说明$a_{2027}$经过了$675$个完整的循环后，是下一个循环中的第$2$个数，而每个循环中的第$2$个数是$2$，所以$a_{2027}=2$。
综上，答案依次为$2$；$-1$；$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$；$2$。