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1. 判断,对的打“√”,错的打“×”。
(1)两个圆的半径之比是 2∶3,面积之比也是 2∶3。(
(2)一个圆的直径增加 2 m,面积增加$ 3.14 m^2。$(
(3)用一根铁丝分别围成长方形、正方形和圆,其中圆的面积最大。(
(1)两个圆的半径之比是 2∶3,面积之比也是 2∶3。(
×
)(2)一个圆的直径增加 2 m,面积增加$ 3.14 m^2。$(
×
)(3)用一根铁丝分别围成长方形、正方形和圆,其中圆的面积最大。(
√
)
答案：
解析：
(1) 题目考查两个圆的半径之比与面积之比的关系。根据圆的面积公式 $S = \pi r^2$，如果两个圆的半径之比是 2∶3，那么面积之比应该是半径之比的平方，即 $2^2∶3^2 = 4∶9$，而不是 2∶3。所以此题错误。
(2) 题目考查一个圆的直径增加与面积增加的关系。设原来的圆的直径为 $d$，则半径为 $\frac{d}{2}$，面积为 $\pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$。直径增加 2m 后，新的直径为 $d+2$，新的半径为 $\frac{d+2}{2}$，新的面积为 $\pi (\frac{d+2}{2})^2 = \frac{\pi (d+2)^2}{4}$。面积的增加量不是固定的 $3.14 m^2$，而是与原来的直径 $d$ 有关。所以此题错误。
(3) 题目考查用同一根铁丝分别围成长方形、正方形和圆时，哪种形状的面积最大。在周长相同的情况下，圆的面积总是最大的，其次是正方形，最后是长方形。所以此题正确。
答案：
(1) ×
(2) ×
(3) √
(1) 题目考查两个圆的半径之比与面积之比的关系。根据圆的面积公式 $S = \pi r^2$，如果两个圆的半径之比是 2∶3，那么面积之比应该是半径之比的平方，即 $2^2∶3^2 = 4∶9$，而不是 2∶3。所以此题错误。
(2) 题目考查一个圆的直径增加与面积增加的关系。设原来的圆的直径为 $d$，则半径为 $\frac{d}{2}$，面积为 $\pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$。直径增加 2m 后，新的直径为 $d+2$，新的半径为 $\frac{d+2}{2}$，新的面积为 $\pi (\frac{d+2}{2})^2 = \frac{\pi (d+2)^2}{4}$。面积的增加量不是固定的 $3.14 m^2$，而是与原来的直径 $d$ 有关。所以此题错误。
(3) 题目考查用同一根铁丝分别围成长方形、正方形和圆时，哪种形状的面积最大。在周长相同的情况下，圆的面积总是最大的，其次是正方形，最后是长方形。所以此题正确。
答案：
(1) ×
(2) ×
(3) √
2. 计算下列图形的周长和面积。
(1)直径是 12 m 的圆。
(2)半径是 4 cm 的半圆。
(1)直径是 12 m 的圆。
(2)半径是 4 cm 的半圆。
答案：
解析：
本题考查圆的周长和面积的计算，以及半圆的周长和面积的计算。
对于直径是 12 m 的圆：
周长：根据圆的周长公式 $C = \pi d$，其中 $d$ 是圆的直径，$\pi$取$3.14$。
面积：根据圆的面积公式 $S = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。
对于半径是 4 cm 的半圆：
周长：半圆的周长由半圆弧和直径组成。因此，半圆的周长为 $\frac{1}{2} × 2\pi r + 2r = \pi r + 2r$。
面积：半圆的面积为 $\frac{1}{2} × \pi r^2$。
答案：
(1) 直径是 12 m 的圆
周长：$C = \pi × 12 = 3.14 × 12 = 37.68（\text{m}）$。
面积：$S = \pi × (\frac{12}{2})^2 = 3.14 × 6^2 = 113.04（\text{m}^2）$。
答：周长是37.68m，面积是$113.04m^2$。
(2) 半径是 4 cm 的半圆
周长：$\text{半圆周长} = \pi × 4 + 2 × 4 = 3.14 × 4 + 8 = 20.56（\text{cm}）$。
面积：$\text{半圆面积} = \frac{1}{2} × \pi × 4^2 = \frac{1}{2} × 3.14 × 16 = 25.12（\text{cm}^2）$。
答：周长是20.56cm，面积是$25.12cm^2$。
本题考查圆的周长和面积的计算，以及半圆的周长和面积的计算。
对于直径是 12 m 的圆：
周长：根据圆的周长公式 $C = \pi d$，其中 $d$ 是圆的直径，$\pi$取$3.14$。
面积：根据圆的面积公式 $S = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。
对于半径是 4 cm 的半圆：
周长：半圆的周长由半圆弧和直径组成。因此，半圆的周长为 $\frac{1}{2} × 2\pi r + 2r = \pi r + 2r$。
面积：半圆的面积为 $\frac{1}{2} × \pi r^2$。
答案：
(1) 直径是 12 m 的圆
周长：$C = \pi × 12 = 3.14 × 12 = 37.68（\text{m}）$。
面积：$S = \pi × (\frac{12}{2})^2 = 3.14 × 6^2 = 113.04（\text{m}^2）$。
答：周长是37.68m，面积是$113.04m^2$。
(2) 半径是 4 cm 的半圆
周长：$\text{半圆周长} = \pi × 4 + 2 × 4 = 3.14 × 4 + 8 = 20.56（\text{cm}）$。
面积：$\text{半圆面积} = \frac{1}{2} × \pi × 4^2 = \frac{1}{2} × 3.14 × 16 = 25.12（\text{cm}^2）$。
答：周长是20.56cm，面积是$25.12cm^2$。
3. 求下列圆环的面积。
(1)内圆半径 6 cm,环宽 3 cm。
(2)外圆直径 6 cm,环宽 2 cm。
(1)内圆半径 6 cm,环宽 3 cm。
(2)外圆直径 6 cm,环宽 2 cm。
答案：
(1)外圆半径：6+3=9(cm)
圆环面积：3.14×(9²-6²)=3.14×(81-36)=3.14×45=141.3(cm²)
(2)外圆半径：6÷2=3(cm)
内圆半径：3-2=1(cm)
圆环面积：3.14×(3²-1²)=3.14×(9-1)=3.14×8=25.12(cm²)
(1)外圆半径：6+3=9(cm)
圆环面积：3.14×(9²-6²)=3.14×(81-36)=3.14×45=141.3(cm²)
(2)外圆半径：6÷2=3(cm)
内圆半径：3-2=1(cm)
圆环面积：3.14×(3²-1²)=3.14×(9-1)=3.14×8=25.12(cm²)
4. 在一个周长 62.8 m 的圆形水池边修了一条宽 1 m 的环形石子路,这条环形石子路的面积是多少平方米？
答案：
圆形水池的半径：62.8÷3.14÷2=10(m)
外圆半径：10+1=11(m)
环形石子路的面积：3.14×(11²-10²)=3.14×(121-100)=3.14×21=65.94(m²)
答：这条环形石子路的面积是65.94平方米。
外圆半径：10+1=11(m)
环形石子路的面积：3.14×(11²-10²)=3.14×(121-100)=3.14×21=65.94(m²)
答：这条环形石子路的面积是65.94平方米。
5. 如图,长方形与圆的面积相等。已知长方形的长是 31.4 厘米,圆的面积是多少平方厘米？
答案：
解析：本题考查长方形和圆面积相等时，根据长方形其中一边求圆面积。已知长方形长和圆的半径关系，通过设圆半径为未知数，利用两者面积相等列方程求解半径，进而求出圆面积。
设圆的半径为$r$厘米。
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，长方形的宽等于圆的半径$r$，长是$31.4$厘米，长方形面积公式为$S = 长×宽$。
因为长方形与圆的面积相等，所以可得方程：
$\pi r^{2}=31.4× r$
两边同时除以$r$（$r\neq0$）得：
$\pi r = 31.4$
已知$\pi$通常取$3.14$，则：
$3.14r = 31.4$
解得$r = 10$。
圆的面积$S=\pi r^{2}=3.14×10^{2}=314$（平方厘米）。
答案：圆的面积是$314$平方厘米。
设圆的半径为$r$厘米。
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，长方形的宽等于圆的半径$r$，长是$31.4$厘米，长方形面积公式为$S = 长×宽$。
因为长方形与圆的面积相等，所以可得方程：
$\pi r^{2}=31.4× r$
两边同时除以$r$（$r\neq0$）得：
$\pi r = 31.4$
已知$\pi$通常取$3.14$，则：
$3.14r = 31.4$
解得$r = 10$。
圆的面积$S=\pi r^{2}=3.14×10^{2}=314$（平方厘米）。
答案：圆的面积是$314$平方厘米。
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