《2025年能力培养与测试七年级数学上册人教版》

5. 若关于$x的方程\frac{2x + a}{2} = 4(x - 1)的解为x = 3$,则$a$的值为______.

答案： 10

6. 程大位是我国明朝商人,珠算发明家. 他 60 岁时完成的《算法统宗》详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法. 书中有如下问题：
一百馒头一百僧,大和三个更无争,小和三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,正好分完,大、小和尚各有多少人？

答案： 解：设大和尚有$x$人，则小和尚有（100-$x$）人. 依题意，得$3x+\frac{100-x}{3}=100$，解得$x=25$，则100-$x$=75，故大和尚有25人，小和尚有75人.

7. 【现场学习】定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程.
如：$|x| = 2$,$|2x - 1| = 3$,$\left|\frac{x - 1}{2}\right| - x = 1$都是含有绝对值的方程.
怎样求含有绝对值的方程的解呢？
解决思路是将含有绝对值的方程转化为不含有绝对值的方程.
我们知道,根据绝对值的意义,由$|x| = 2$,可得$x = 2或x = -2$.
[例] 解方程：$|2x - 1| = 3$.
解析：我们只要把$2x - 1$看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.
解：根据绝对值的意义,得$2x - 1 = 3或2x - 1 = -3$.
解这两个一元一次方程,得$x = 2或x = -1$.
检验：
(1) 当$x = 2$时,原方程的左边$= |2x - 1| = |2×2 - 1| = 3$,右边$= 3$. 因为左边$=$右边,所以$x = 2$是原方程的解.
(2) 当$x = -1$时,原方程的左边$= |2x - 1| = |2×(-1) - 1| = 3$,右边$= 3$. 因为左边$=$右边,所以$x = -1$是原方程的解.
综合 (1) (2) 可知,原方程的解是$x = 2或x = -1$.
【解决问题】解方程：$\left|\frac{x - 1}{2}\right| - x = 1$.

答案： 解：原方程可化为$\left|\frac{x-1}{2}\right|=1+x$. 根据绝对值的意义，得$\frac{x-1}{2}=1+x$或$\frac{x-1}{2}=-（1+x）$. 解方程$\frac{x-1}{2}=1+x$，得$x=-3$. 解方程$\frac{x-1}{2}=-（1+x）$，得$x=-\frac{1}{3}$. 检验：（1）当$x=-3$时，原方程的左边=$\left|\frac{-3-1}{2}\right|-（-3）=2+3=5$，右边=1，因为左边≠右边，所以$x=-3$不是原方程的解. （2）当$x=-\frac{1}{3}$时，原方程的左边=$\left|\frac{-\frac{1}{3}-1}{2}\right|-（-\frac{1}{3}）=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$，右边=1，因为左边=右边，所以$x=-\frac{1}{3}$是原方程的解. 综合（1）（2）可知，原方程的解是$x=-\frac{1}{3}$.