《2025年能力培养与测试七年级数学上册人教版》

6. 甲、乙、丙三人共同出资做生意,甲投资了 $24$ 万元,乙投资了 $20$ 万元,丙投资了 $28$ 万元,年终时,共获得利润 $27$ 万元.甲、乙、丙三人按比例进行分配,各可以分得多少利润？

答案： 解:$24:20:28=6:5:7$. 设甲可以获得$6x$万元，则乙可以获得$5x$万元，丙可以获得$7x$万元.依题意得$6x+5x+7x=27$,解得$x=1.5$,$6x=9$，$5x=7.5$，$7x=10.5$. 故甲可以分得9万元，乙可以分得7.5万元，丙可以分得10.5万元

7. 规定一种新运算：$a * b = ab + a + b$.若 $3 * x - 3 = 24$,求 $x$ 的值.

答案： 解:根据题意,得$3x+3+x-3=24$. 合并同类项，得$4x=24$. 系数化为1,得$x=6$.

8. 规定：$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$.当 $\begin{vmatrix}\frac{x}{2} & 3x \\1 & 2\end{vmatrix} = 5$ 时,求 $x$ 的值.

答案： 解:根据题意,得$x-3x=5$. 合并同类项，得$-2x=5$. 系数化为1,得$x=-\frac{5}{2}$.

9. 按规律排列的一列数：$2$,$-4$,$8$,$-16$,$32$,$-64$,…$$,其中某四个相邻的数的和是 $-720$.求这四个数中最大的数与最小的数的差.

答案： 解:根据题意，可设第一个数为$x$，则后面三个数分别为$-2x$，$4x$，$-8x$. 则$x-2x+4x-8x=-720$,合并同类项，得$-5x=-720$，解得$x=144$. 所以$-2x=-288$，$4x=576$，$-8x=-1152$. 所以最大的数为576，最小的数为$-1152$. 所以$576-(-1152)=1728$. 故这四个数中最大的数与最小的数的差为1728.

10. 图 $5.2 - 1$ 是 $2024$ 年 $1$ 月份日历.

(1)图中用长方形和正方形分别圈出了相邻的 $3$ 个数和 $9$ 个数,若设圈出的 $3$ 个数的中心数为 $a$,圈出的 $9$ 个数的中心数为 $b$,用含 $a$ 和 $b$ 的整式表示这 $3$ 个数的和与 $9$ 个数的和,结果分别为______,______.
(2)用某种图形圈出相邻的 $5$ 个数,使这 $5$ 个数的和能表示成 $5a$ 的形式,请画出一个这样的图形.
(3)若用如图 $5.2 - 2$ 所示的平行四边形圈出相邻的四个数,是否存在这样的 $4$ 个数,使得 $a + b + c + d = 66$？若存在,请求这四个数；若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)$3a$ $9b$
(2)如图①所示.(答案不唯一)
(3)存在 如图②, 因为$b=a+1$，$c=a+6$，$d=a+7$， 所以$a+b+c+d=a+a+1+a+6+a+7=66$. 解得$a=13$, 所以$b=14$，$c=19$，$d=20$. 如图③, 因为$b=a+1$，$c=a+8$，$d=a+9$， 所以$a+b+c+d=a+a+1+a+8+a+9=66$. 解得$a=12$, 所以$b=13$，$c=20$，$d=21$.