《2025年能力培养与测试七年级数学上册人教版》

10. 一个三位数,它的百位数字为$a$,十位数字为$b$,个位数字为$c$,若把它的百位数字与个位数字对调,将得到一个新的三位数.
(1)用含$a$,$b$,$c$的代数式分别表示原数与新数；
(2)计算原数与新数的差,这个差能被$11$整除吗？为什么？

答案： （1）原数为$100a+10b+c$，新数为$100c+10b+a$.
（2）差能被11整除. 理由如下：
$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)$
$=100a+10b+c-100c-10b-a$
$=100a-a+10b-10b+c-100c$
$=99a-99c$
$=99(a-c)$
$=11×9(a-c)$，
故这个差能被11整除.

11. 如图4.2-3,某公园有一块长为$(2a - 1)m$. 宽为$am$的长方形土地(一边靠着墙),现将三面留出宽都是$xm$的小路,余下部分设计成花圃进行美化,并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来.
(1)用代数式表示所用篱笆的总长度；
(2)若$a = 6x = 30$,篱笆的造价为每米$60$元,请计算全部篱笆的造价.

答案： （1）花圃的长为$(2a-1-2x)m$，宽为$(a-x)m$，
所以篱笆的总长度为$2(2a-1-2x)+2(a-x)$
$=4a-2-4x+2a-2x$
$=(6a-6x-2)m$.
（2）因为$a=6x=30$，所以$x=5$，
当$a=30$，$x=5$时，
$6a-6x-2$
$=6×30-6×5-2$
$=180-30-2$
$=148$，
$148×60=8880$（元），
故全部篱笆的造价是8880元.

12. 定义：若$a + b = 2$,则称$a与b是关于2$的梦想数.
(1)$3$与____是关于$2$的梦想数,$7 - x$与____是关于$2$的梦想数(填一个含$x$的代数式)；
(2)若$a = x^{2} - 4x - 1$,$b = x^{2} - 2(x^{2} - 2x - 1) + 1$,判断$a与b是否是关于2$的梦想数,并说明理由；
(3)若$c = kx + 1$,$d = x - 3$,且$c与d是关于2$的梦想数,若$x$为正整数,求整数$k$的值.

答案： （1）$-1$ $x-5$
（2）$a$与$b$是关于2的梦想数.
理由：因为$a=x^{2}-4x-1$，$b=x^{2}-2(x^{2}-2x-1)+1$，
所以$a+b$
$=(x^{2}-4x-1)+[x^{2}-2(x^{2}-2x-1)+1]$
$=x^{2}-4x-1+x^{2}-2(x^{2}-2x-1)+1$
$=x^{2}-4x-1+x^{2}-2x^{2}+4x+2+1$
$=2$，
所以$a$与$b$是关于2的梦想数.
（3）因为$c=kx+1$，$d=x-3$，且$c$与$d$是关于2的梦想数，所以$c+d=2$，所以$kx+1+x-3=2$，
所以$(k+1)x=4$，
因为$x$为正整数，
所以当$x=1$时，$k+1=4$，解得$k=3$，
当$x=2$时，$k+1=2$，解得$k=1$，
当$x=4$时，$k+1=1$，解得$k=0$，
所以整数$k$的值为0或1或3.