《2025年同步测控优化设计七年级数学上册人教版》

典例 3 已知 $a$,$b$ 为定值,关于 $x$ 的方程 $\frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6}$ 满足,无论 $k$ 为何值,它的解总是 $1$,则 $a + b = $0.

答案： 0

典例 4 某同学在解关于 $x$ 的方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$ 时,由于马虎去分母后得到方程 $2x - 1 = x + a - 2$,求得方程的解为 $x = 2$.
(1)试求 $a$ 的值.
(2)你认为 $x = 2$ 是方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$ 的解吗？如果认为是,请说明理由；如果认为不是,请求出方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$ 的解.

答案：
(1)将$x=2$代入$2x - 1 = x + a - 2$，得$2×2 - 1 = 2 + a - 2$，$4 - 1 = a$，解得$a=3$。
(2)不是。原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 3}{3} - 2$，去分母得$2x - 1 = x + 3 - 6$，$2x - x = 3 - 6 + 1$，$x=-2$。

典例 5 某学校开展冬季运动会,准备采购 $30$ 副羽毛球拍和若干个羽毛球,每副羽毛球拍标价 $80$ 元,每个羽毛球标价 $5$ 元. 某超市开展促销活动,提供了两种优惠方案(两种优惠方案不能叠加使用)：
方案一：每购买一副羽毛球拍赠送 $5$ 个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售.
设该校购买了 $x$ 个羽毛球($x \geq 150$).
(1)当 $x = 300$ 时,按两种方案购买各需付款多少元？
(2)按两种方案购买各需付款多少元？(用含 $x$ 的式子表示)
(3)当购买多少个羽毛球时,两种方案付款相同？

答案：
(1)
方案一：
买$30$副羽毛球拍，每副$80$元，且每副送$5$个羽毛球，共送$30×5 = 150$个羽毛球。
还需购买羽毛球$300 - 150 = 150$个，每个$5$元。
总费用为$30×80 + 150×5=2400 + 750 = 3150$元。
方案二：
$30$副羽毛球拍费用为$30×80×0.8 = 1920$元。
$300$个羽毛球费用为$300×5×0.8 = 1200$元。
总费用为$1920 + 1200 = 3120$元。
(2)
方案一：
买$30$副羽毛球拍费用为$30×80 = 2400$元，送$150$个羽毛球。
还需购买$(x - 150)$个羽毛球，费用为$5(x - 150)$元。
总费用$y_1 = 2400 + 5(x - 150)=2400 + 5x - 750 = 5x + 1650$。
方案二：
$30$副羽毛球拍费用为$30×80×0.8 = 1920$元。
$x$个羽毛球费用为$5x×0.8 = 4x$元。
总费用$y_2 = 1920 + 4x$。
(3)
当$y_1 = y_2$时，
$5x + 1650 = 4x + 1920$，
$5x - 4x = 1920 - 1650$，
解得$x = 270$。
综上，答案依次为：
(1)方案一$3150$元，方案二$3120$元；
(2)方案一$y_1 = 5x + 1650$，方案二$y_2 = 4x + 1920$；
(3)$270$个。