《2025年同步测控优化设计七年级数学上册人教版》

典例1
有下列3个代数式：$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$,2025,$-x$.
(1)单项式的个数是2.
(2)2025的次数是0,$-x$的系数是-1.
(3)$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$的二次项为3xy,常数项为-1.
(4)$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$是六次五项式.

答案：
(1)
单项式是表示数或字母的积的式子，单独的一个数或字母也叫做单项式。
在$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$，2025，$-x$中，2025和$-x$是单项式，所以单项式的个数是$2$。
(2)
单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，单独的一个数的次数为$0$。
所以2025的次数是$0$；
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所以$-x$的系数是$-1$。
(3)
在多项式$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$中，二次项是次数为$2$的项，即$3xy$；
常数项是不含字母的项，即$-1$。
(4)
在多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式。
在$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$中，次数最高的项是$- 5x^{3}y^{3}$，次数为$3 + 3=6$，一共有$5$个项，所以$x^{4}+3xy - 2xy^{4} - 5x^{3}y^{3} - 1$是六次五项式。
综上，答案依次为：
(1)$2$；
(2)$0$，$-1$；
(3)$3xy$，$-1$；
(4)六，五。

典例2
先化简,再求值：$-\frac{1}{6}(3x^{3}+6x^{2}+18)+\frac{1}{2}(x^{3}-4x^{2}+4)$,其中$x= -\frac{1}{3}$.

答案： 化简过程：
$\begin{aligned}&-\frac{1}{6}(3x^{3}+6x^{2}+18)+\frac{1}{2}(x^{3}-4x^{2}+4)\\=&-\frac{1}{6}×3x^{3}-\frac{1}{6}×6x^{2}-\frac{1}{6}×18+\frac{1}{2}x^{3}-\frac{1}{2}×4x^{2}+\frac{1}{2}×4\\=&-\frac{1}{2}x^{3}-x^{2}-3+\frac{1}{2}x^{3}-2x^{2}+2\\=&(-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{3})+(-x^{2}-2x^{2})+(-3+2)\\=&-3x^{2}-1\end{aligned}$
代入求值：
当$x=-\frac{1}{3}$时，
$\begin{aligned}&-3×(-\frac{1}{3})^{2}-1\\=&-3×\frac{1}{9}-1\\=&-\frac{1}{3}-1\\=&-\frac{4}{3}\end{aligned}$
最终结论：
$-\frac{4}{3}$

典例3
张叔叔承包了一片土地用于草莓种植. 土地平面示意图如下(图中长度单位：m),请根据示意图回答下列问题：

(1)用含$a$,$b的式子表示出这片土地的总面积S$.
(2)由于各个地块土壤条件存在差异,地块①和地块②平均每平方米可种植9株草莓,剩下的地块平均每平方米可种植11株草莓,则张叔叔总共可种植多少株草莓？(用含$a$,$b$的式子表示)
(3)在满足(2)问的条件下,当$a = 20$,$b = 15$时,张叔叔种植草莓的数量为多少株？

答案：
(1) 由图可知，地块①面积为$40a$，地块④面积为$30×20=600$，地块③面积为$16b$，地块②的长为$30 - b$、宽为$40 - 20=20$，面积为$20(30 - b)=600 - 20b$。总面积$S=40a + (600 - 20b) + 16b + 600=40a - 4b + 1200$。
(2) 地块①和②面积之和为$40a + (600 - 20b)$，地块③和④面积之和为$16b + 600$。总株数为$9[40a + (600 - 20b)] + 11(16b + 600)=360a - 4b + 12000$。
(3) 当$a=20$，$b=15$时，总株数为$360×20 - 4×15 + 12000=7200 - 60 + 12000=19140$。
(1) $S=40a - 4b + 1200$
(2) $360a - 4b + 12000$
(3) $19140$