《2025年同步测控优化设计七年级数学上册人教版》

6. 观察下列单项式：$-x$,$3x^{2}$,$-5x^{3}$,$7x^{4}$,…$$,$-37x^{19}$,$39x^{20}$,…$$,回答下列问题.
(1) 这组单项式的系数依次为多少? 系数的规律是什么?
(2) 这组单项式的次数的规律是什么?
(3) 请你根据上面的归纳猜想出第 $n$ 个单项式,并写出来.

答案： 解
(1)这组单项式的系数依次为-1,3,-5,7,…,-37,39,…;系数为奇数,且奇次单项式的系数为负数,故单项式的系数的符号是$(-1)^{n}$(n 为正整数),系数的绝对值的规律是$2n-1$(n 为正整数).
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数,第n个单项式的次数为n.
(3)根据
(1)
(2)发现的规律,可猜想第n个单项式是$(-1)^{n}(2n-1)x^{n}.$

1. 多项式的概念
几个单项式的和叫作多项式.
2. 多项式的项与次数
(1)多项式中的每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项. 注意多项式中的每一项都包含它前面的正负号.
(2)多项式里,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数.
3. 整式
单项式与多项式统称整式.

答案： 1. 单项式 和 2.
(1)项 常数项 正负号
(2)最高 3. 单项式 多项式

1. 多项式的概念
典例1 下列式子：$2a^{2}b$,$3xy - 2y^{2}$,$\frac{ab}{2}$,$4$,$-m$,$\frac{ab - c}{\pi}$,其中是多项式的有(B)
A. $2$个
B. $3$个
C. $4$个
D. $5$个
举一反三 下列式子：$\frac{1}{3}ab$,$\frac{a + b}{2}$,$\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$,$x^{2} + x - 3$中,多项式有(B)
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

答案： B

2. 多项式的项与次数
典例2 关于多项式$-\frac{2x^{2}y}{5} - 3x + 1$,下列说法正确的是(D)
A. 它由$-\frac{2x^{2}y}{5}$,$3x和1$三项组成
B. 三项的次数依次为$3$,$1$,$1$
C. 它的最高次项的系数为$\frac{2}{5}$
D. 该多项式的常数项是$1$
规律总结 如何确定多项式的次数？
(1)计算多项式中每一项的次数.
(2)比较各项次数的大小.
(3)将次数最高项的次数定为多项式的次数,而不是所有项的次数之和.
举一反三 下列说法不正确的是(C)
A. $\frac{xy - 1}{3}$是多项式
B. $6x^{2} - 3x + 1的项是6x^{2}$,$-3x$,$1$
C. 多项式$4a^{3} - 3a^{4}b + 2的次数是4$
D. $x^{2} - 4x + 1的一次项系数是-4$

答案： 典例2
- **选项A**：多项式$-\frac{2x^{2}y}{5}-3x + 1$由$-\frac{2x^{2}y}{5}$，$-3x$和$1$三项组成，而不是$3x$，所以A错误。
- **选项B**：对于单项式的次数，$-\frac{2x^{2}y}{5}$的次数是$2 + 1=3$；$-3x$的次数是$1$；$1$是常数项，次数为$0$，所以B错误。
- **选项C**：最高次项是$-\frac{2x^{2}y}{5}$，其系数为$-\frac{2}{5}$，不是$\frac{2}{5}$，所以C错误。
- **选项D**：多项式中的常数项是$1$，D正确。
举一反三
- **选项A**：$\frac{xy - 1}{3}=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{3}$，是多项式，A正确。
- **选项B**：$6x^{2}-3x + 1$的项是$6x^{2}$，$-3x$，$1$，B正确。
- **选项C**：多项式$4a^{3}-3a^{4}b + 2$中，$-3a^{4}b$的次数是$4 + 1=5$，所以该多项式的次数是$5$，不是$4$，C错误。
- **选项D**：$x^{2}-4x + 1$的一次项是$-4x$，其系数是$-4$，D正确。
综上，典例2答案是D；举一反三答案是C。