《2025年通成学典课时作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内. 若知道图②中涂色部分的面积,则一定能求出 ( )

A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和

答案： C　解析:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a.由勾股定理,得c² = a² + b²,
∴题图②中涂色部分的面积为c² - b² - a(c - b) = a² - ac + ab = a(a + b - c).
∵题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为a,宽为a - (c - b) = a + b - c,
∴题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为a(a + b - c)

8. (2024·浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE. 若AE= 4,BE= 3,则DE的长为______.

答案： $\sqrt{17}$

9. 如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,教材第100页例2通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论：$CD^2= AD·DB$. 请你利用上述结论与学过的数学知识,求证：
(1)$AC^2= AD·AB$；
(2)$BC^2= DB·AB$.

答案：
(1)
∵CD是AB边上的高,
∴在Rt△ADC中,AC² = CD² + AD².
∵CD² = AD·DB,
∴AC² = AD·DB + AD² = AD·(DB + AD).
∵AB = DB + AD,
∴AC² = AD·AB
(2)
∵CD是AB边上的高，
∴在Rt△BDC中,BC² = CD² + DB².
∵CD² = AD·DB,
∴BC² = AD·DB + DB² = DB·(AD + DB).
∵AB = AD + DB,
∴BC² = DB·AB

10. (2024·陕西)如图,在△ABC中,AB= AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF//AC,且BF= AE,连接CF. 若AC= 13,BC= 10,求四边形EBFC的面积.

答案：
如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H,过点C分别作CM⊥AB,CN⊥BF,垂足分别为M,N.
∵AB = AC,AH⊥BC,
∴CH = $\frac{1}{2}$BC = 5,
∴在Rt△AHC中,AH² = AC² - CH²,
∴AH = 12,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AH = $\frac{1}{2}$×10×12 = 60.
∵AB = AC,
∴∠ABC = ∠ACB.
∵BF//AC,
∴∠ACB = ∠CBF,
∴∠ABC = ∠CBF.
∵CM⊥AB,CN⊥BF,
∴CM = CN.
∵S△ACE = $\frac{1}{2}$AE·CM,S△CBF = $\frac{1}{2}$BF·CN,AE = BF,
∴S△ACE = S△CBF,
∴S四边形EBFC = S△CBF + S△CBE = S△ACE + S△CBE = S△ABC = 60