《2025年通成学典课时作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

6. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠C= 90°,AB＞CD,AD= AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC 的平分线 DE,交 BC 于点 E,连接 AE(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,求证:AE⊥DE.

答案：
（1）如图所示 （2）如图，在DA上截取GD=CD，连接GE.
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠GDE=∠CDE.在△GDE和△CDE中，GD=CD，∠GDE=∠CDE，DE=DE，
∴△GDE≌△CDE（SAS），
∴∠DGE=∠C=90°，∠DEG=∠DEC=$\frac{1}{2}$∠CEG，
∴∠AGE=180°-∠DGE=90°，
∴∠AGE=∠B=90°，
∴△AGE和△ABE均是直角三角形.
∵AD=AG+GD=AB+CD，GD=CD，
∴AG=AB.在Rt△AEG和Rt△AEB中，AE=AE，AG=AB，
∴Rt△AEG≌Rt△AEB（HL），
∴∠AEG=∠AEB=$\frac{1}{2}$∠BEG，
∴∠AED=∠DEG+∠AEG=$\frac{1}{2}$(∠CEG+∠BEG)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AE⊥DE

7. (新考法·探究题)已知 CD 是经过∠BCA 的顶点 C 的一条直线,CA= CB,E,F 分别是直线 CD 上的两点,且∠BEC= ∠CFA= ∠α.
(1)如图①,若直线 CD 经过∠BCA 的内部,且点 E,F 在射线 CD 上,0°＜∠BCA＜180°,∠α+∠BCA= 180°,请写出线段 EF,BE,AF 之间的数量关系,并证明你的结论；
(2)如图②,若直线 CD 不经过∠BCA 的内部,∠α= ∠BCA,请写出线段 EF,BE,AF 之间的数量关系,并证明你的结论.

答案： （1）EF=BE - AF
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠ACF=180°.
∵△ACF的内角和为180°，
∴∠α+∠ACF+∠CAF=180°，
∴∠BCE=∠CAF.在△BCE和△CAF中，∠BEC=∠CFA，∠BCE=∠CAF，CB=AC，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF.
∵CF=CE+EF，
∴EF=CF - CE=BE - AF （2）EF=BE+AF 根据题意，得∠BEC=∠CFA=∠α=∠BCA.又
∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠FCA+∠BCA=180°，
∴∠EBC=∠FCA.在△BEC和△CFA中，∠BEC=∠CFA，∠EBC=∠FCA，CB=AC，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴CE=AF，BE=CF，
∴EF=CF+CE=BE+AF