《2025年通成学典课时作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. (教材P48练习第3题变式)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB= 90^{\circ} $,$ CD 是边 AB $上的高,$ \angle A= 30^{\circ} $.若$ BC= 2 $,则$ AD $的长为______.

答案： 3

8. (2024·湖北)如图,三个全等的三角形($ \triangle ABE $,$ \triangle BCF $,$ \triangle CAD $)与中间的小等边三角形$ DEF 拼成一个大等边三角形 ABC $,连接$ BD $.若$ AE= ED $,则$ \angle FDB $的度数为______.

答案： 30°

9. (2024·宿迁模拟)如图,在$ Rt\triangle ABC $中,$ \angle A= 30^{\circ} $,请用无刻度的直尺和圆规,在$ AC 边上求作一点 M $,使$ MA= 2MC $(不写做法,保留作图痕迹).

答案：
如图，点M即为所求
　　　　　　　

10. 如图,$ \triangle ABC $,$ \triangle CDE $均为等边三角形,连接$ BD $,$ AE 交于点 O $,$ BC 与 AE 交于点 P $.
(1)求证:$ AE= BD $;
(2)求$ \angle AOB $的度数.

答案：
(1)
∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACE=∠BCD,\\ CE=CD,\end{array}\right. $
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD
(2)
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD.又
∵△APC与△BPO的内角和均为180°，∠APC=∠BPO，
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°

11. 如图,在等边三角形$ ABC $中,$ M 为边 AB $上任意一点,延长$ BC 至点 N $,使$ CN= AM $,连接$ MN 交 AC 于点 P $.求证:$ MP= NP $.

答案： 过点M作MQ//BC，交AC于点Q.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ//BC，
∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N.
∴∠AMQ=∠AQM=∠A，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM=QM.
∵AM=CN，
∴QM=CN.在△QMP和△CNP中，$\left\{\begin{array}{l} ∠QPM=∠CPN,\\ ∠QMP=∠N,\\ QM=CN,\end{array}\right. $
∴△QMP≌△CNP(AAS)，
∴MP=NP