《2025年通成学典课时作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

9.(1)(2023·安徽改编)如图①,在7×6的网格中,△ABC的顶点均在格点上.借助网格特征,只利用直尺画出直线l,使得直线l垂直平分AB.
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠B= 90°.求作点P,使点P在△ABC内部,且PB= PC,∠PBC= 45°(不写作法,保留作图痕迹).

答案：
（1）如图①,直线 l 即为所求 （2）如图②,点 P 即为所求

10. 如图,在△ABC中,∠B= ∠C,点P,Q,R分别在边AB,BC,AC上,连接PQ,PR,QR,且PB= QC,QB= RC.求证：点Q在PR的垂直平分线上.

答案： 在△BPQ 和△CQR 中,$\left\{\begin{array}{l} PB=QC,\\ ∠B=∠C,\\ QB=RC,\end{array}\right.$
∴△BPQ≌△CQR(SAS).
∴QP=RQ.
∴点 Q 在 PR 的垂直平分线上

11. 如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,EF与AB的延长线交于点F,EF//BC.设点O在AD上,且AO= CO.求证：O是△ABC三边的垂直平分线的交点.

答案： 连接 BO.
∵AE⊥EF,
∴∠E=90°.
∵EF//BC,
∴∠ADB=∠E=90°.
∴AD⊥BC.
∵D 是 BC 的中点,
∴AD 是 BC 的垂直平分线,即点 O 在 BC 的垂直平分线上,
∴BO=CO.
∵AO=CO,
∴点 O 在 AC 的垂直平分线上,BO=AO,
∴点 O 在 AB 的垂直平分线上,
∴O 是△ABC 三边的垂直平分线的交点

12.(教材P40习题第8题变式)如图,过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M,作△ABC的另外两边AB,BC所在直线的垂线,垂足分别为D,E,AD= CE,作射线BM.求证：BM平分∠ABC.

答案： 连接 MA,MC.
∵点 M 在 AC 的垂直平分线上,
∴MA=MC.
∵MD⊥AD,ME⊥BC,
∴∠ADM=∠CEM=90°. 在 Rt△MAD 和 Rt△MCE 中,$\left\{\begin{array}{l} MA=MC,\\ AD=CE,\end{array}\right.$
∴Rt△MAD≌Rt△MCE(HL),
∴MD=ME. 又
∵MD⊥BA,ME⊥BC,
∴点 M 在∠ABC 的平分线上,即 BM 平分∠ABC