《2025年通成学典课时作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

9.(2024·宿迁段考)如图,AB= CD,点 E,F 在线段 BD 上,且 AF= CE. 请从① BF= DE,② ∠BAF= ∠DCE,③ AF= CF 中,选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE. 你添加的条件是______(只填写一个序号).
添加条件后,请证明 AE//CF.

答案： ①(或②) 当选择①时,在△ABF 和△CDE 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ AF=CE,\\ BF=DE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SSS),
∴∠B=∠D.
∵BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,
∴BE=DF.在△ABE 和△CDF 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BE=DF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF.当选择②时,在△ABF 和△CDE 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠BAF=∠DCE,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠B=∠D,BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,
∴BE=DF.在△ABE 和△CDF 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BE=DF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF

10.(教材 P25 例 7 变式)如图,在四边形 ABCD 中,点 E 在 AC 上,AC 既平分∠DAB,又平分∠DCB. 求证：DE= BE.

答案：
∵AC 既平分∠DAB,又平分∠DCB,
∴∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.在△ACD 和△ACB 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DAC=∠BAC,\\ AC=AC,\\ ∠DCA=∠BCA,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△ACB(ASA),
∴AD=AB.在△AED 和△AEB 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠DAE=∠BAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△AED≌△AEB(SAS),
∴DE=BE

11. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= AC,∠D= 90°,BE⊥AC,垂足为 F,且交 CD 于点 E,连接 EA,EA 平分∠DEF.
(1)求证：AF= AD；
(2)若 BF= 7,DE= 3,求 CE 的长.

答案：
(1)
∵∠D=90°,BE⊥AC.
∴∠AFE=∠D=90°.
∵EA 平分∠DEF,
∴∠FEA=∠DEA.在△FAE 和△DAE 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠D=90°,\\ ∠FEA=∠DEA,\\ EA=EA,\end{array}\right. $
∴△FAE≌△DAE(AAS),
∴AF=AD
(2)
∵∠D=90°,BE⊥AC,
∴∠AFB=∠D=90°.
∴△ABF 和△ACD 均为直角三角形,
∴在Rt△ABF 和Rt△ACD 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ AF=AD,\end{array}\right. $
∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴BF=CD=7.
∵DE=3,
∴CE=CD - DE=7 - 3=4