《2025年通成学典课时作业本七年级数学上册苏科版宿迁专版》

9.(2023·宿豫期末)若∠A和∠B互补,且∠A＜∠B,则有下列表示∠A的余角的式子：①180°-∠A；②∠B-90°；③$\frac{1}{2}$(∠A+∠B)；④$\frac{1}{2}$(∠B-∠A).其中,正确的有 (B)
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

答案： 解：
∵∠A和∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，∠B=180°-∠A.
∠A的余角为90°-∠A.
①180°-∠A=∠B，∠B＞90°（
∵∠A＜∠B，∠A+∠B=180°），不是∠A的余角，错误；
②∠B-90°=（180°-∠A）-90°=90°-∠A，是∠A的余角，正确；
③$\frac{1}{2}$(∠A+∠B)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，不是∠A的余角，错误；
④$\frac{1}{2}$(∠B-∠A)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A-∠A)=90°-∠A，是∠A的余角，正确.
正确的有②④，共2个.
答案：B

10. 如图,点O在直线AB上,∠AOC= 53°17'28'',则∠BOC= 126°42'32''.

答案： 【解析】：本题可根据补角的性质来求解$\angle BOC$的度数。
已知点$O$在直线$AB$上，那么$\angle AOB$是平角，平角的度数为$180^{\circ}$，即$\angle AOB = 180^{\circ}$。
又因为$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC$，所以$\angle BOC$与$\angle AOC$互为补角，根据补角的性质：若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角，可得$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle AOC$。
题目中已给出$\angle AOC = 53^{\circ}17'28''$，将其代入上式进行度、分、秒的减法运算即可求出$\angle BOC$的度数。
在进行度、分、秒的减法运算时，需要注意度、分、秒之间的换算关系：$1^{\circ}=60'$，$1' = 60''$，当分或秒不够减时，需要向高一级单位借$1$当$60$。
【答案】：因为$\angle AOB = 180^{\circ}$，$\angle AOC = 53^{\circ}17'28''$，且$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle AOC$，所以
$\angle BOC=179^{\circ}59'60'' - 53^{\circ}17'28''=(179^{\circ}-53^{\circ})+(59'-17')+(60'' - 28'')=126^{\circ}42'32''$。
故答案为：$126$；$42$；$32$。

11.(方程思想)已知∠1与∠2互余,∠1= (6x+8)°,∠2= (4x-8)°,则∠1的度数为62°,∠2的度数为28°.

答案： 解：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。
即(6x+8)°+(4x-8)°=90°
6x+8+4x-8=90
10x=90
x=9
∠1=(6×9+8)°=62°
∠2=(4×9-8)°=28°
62°；28°

12. 如图,∠ACB= ∠CDB= 90°,则∠ACD的余角有2个,它们是∠B，∠BCD.

答案： 【解析】：
题目考查了余角的概念：如果两个锐角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
已知条件∠ACB和∠CDB都是90°。
由于∠ACB是90°，所以∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACD的余角有∠BCD。
又因为∠CDB是90°，所以在直角三角形CDB中，∠B+∠BCD=90°。
由于∠ACD+∠BCD=90°且∠B+∠BCD=90°，通过等量代换可得∠ACD+∠B=90°，即∠ACD的余角还有∠B。
【答案】：
2；∠B，∠BCD。

13.(新考法·综合与实践)如图,将一张长方形纸片先沿CP折叠,使点A落在点E处,再将纸片的另一角沿PD折叠,使点B落在点F处,且PE与PF在同一条直线上.
(1)∠APC与∠FPD互余吗？为什么？
(2)∠CPF与∠CPB互补吗？为什么？

答案： 1. （1）
解：$\angle APC$与$\angle FPD$互余。
理由：由折叠可知$\angle APC = \angle EPC$，$\angle BPD=\angle FPD$。
因为$\angle APC+\angle EPC+\angle BPD+\angle FPD = 180^{\circ}$（平角的定义），所以$2(\angle APC+\angle FPD)=180^{\circ}$，则$\angle APC+\angle FPD = 90^{\circ}$。
根据互余的定义（若两角之和为$90^{\circ}$，则这两个角互余），所以$\angle APC$与$\angle FPD$互余。
2. （2）
解：$\angle CPF$与$\angle CPB$互补。
理由：由折叠可知$\angle APC=\angle EPC$。
因为$\angle CPF=\angle EPC + \angle EPF$，$\angle CPB=\angle APC + 180^{\circ}-\angle FPD$（$\angle APB = 180^{\circ}$），又$\angle APC+\angle FPD = 90^{\circ}$（已证），$\angle EPF=\angle BPD=\angle FPD$。
且$\angle CPF+\angle CPB=\angle EPC+\angle EPF+\angle APC + 180^{\circ}-\angle FPD$，把$\angle APC=\angle EPC$，$\angle EPF = \angle FPD$代入可得：$\angle CPF+\angle CPB=2\angle APC + 2\angle FPD+180^{\circ}-(\angle APC+\angle FPD)$。
因为$\angle APC+\angle FPD = 90^{\circ}$，所以$\angle CPF+\angle CPB=180^{\circ}$。
根据互补的定义（若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互补），所以$\angle CPF$与$\angle CPB$互补。
综上，（1）$\angle APC$与$\angle FPD$互余；（2）$\angle CPF$与$\angle CPB$互补。

14. 如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且∠BOC= 4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数；
(2)若∠COE= ∠AOE,求∠BOE的度数.

答案：
(1)解：设∠BOD=x，则∠BOC=4x。
因为∠BOC与∠BOD互为余角，
所以∠BOC+∠BOD=90°，即4x+x=90°，
解得x=18°，则∠BOC=4×18°=72°。
(2)解：因为∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC=72°，
所以∠AOC=180°-72°=108°。
因为∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE+∠COE，
所以∠AOE=∠COE=108°÷2=54°。
因为∠AOB是平角，所以∠AOB=180°，
∠AOC=108°，则∠AOB-∠AOC=∠BOC=72°，
∠AOE=54°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=180°-54°=126°。