《2025年新坐标同步练习七年级数学上册人教版青海专用》

1. 按规律排列的一组数据：$\frac {1}{2},\frac {3}{5},□,\frac {7}{17},\frac {9}{26},\frac {11}{37},... $,其中$□$内应填的数是 (D)
A.$\frac {2}{3}$
B.$\frac {5}{11}$
C.$\frac {5}{9}$
D.$\frac {1}{2}$

答案： 解析:选 D. 观察这组数据发现:分子为从1开始的连续的奇数,分母为序号的平方+1,所以第n个数据为$\frac{2n-1}{n^2+1}$.当n=3时,□内应填的数的分子为5,分母=$3^2+1=10$,所以这个数为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,故选 D.

2. 观察下列各式：$2^{2}-1= 1×3,3^{2}-1= 2×4,$$4^{2}-1= 3×5,5^{2}-1= 4×6,... $,根据上述规律,第$n$个等式应表示为$(n+1)^2-1=n(n+2)$.

答案： $(n+1)^2-1=n(n+2)$

3. 观察下列等式：$7^{0}= 1,7^{1}= 7,7^{2}= 49,7^{3}= $343,$7^{4}= 2401$,$7^{5}= 16807$,…,根据其中的规律可得$7^{0}+7^{1}+7^{2}+... +7^{2026}$的结果的个位上的数字是7.

答案： 7

4. 为了求$1+2+2^{2}+2^{3}+... +2^{99}$的值,可令$S= 1+2+2^{2}+2^{3}+... +2^{99}$,则$2S= 2+2^{2}$$+2^{3}+... +2^{99}+2^{100}$,因此,$2S-S= 2^{100}-$1,所以$S= 2^{100}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+... +$$2^{99}的值为2^{100}-1$. 仿照以上推理计算：$1+$ $3+3^{2}+3^{3}+... +3^{99}.$

答案： 解:令$S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{99}$,则$3S=3+3^2+3^3+\cdots+3^{100}$,因此,$3S-S=3^{100}-1$,所以$S=\frac{3^{100}-1}{2}$,即$1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{99}$的值为$\frac{3^{100}-1}{2}$.

5. 如图是由若干个大小相同的“○”组成的一组有规律的图案,其中第1个图案用了2个“○”,第2个图案用了6个“○”,第3个图案用了12个“○”,第4个图案用了20个……“○”,,依照此规律,第$n$个图案中“○”的个数为$n^2+n$(用含$n$的代数式表示).

答案： 解析:因为第1个图案用了$1^2+1=2$(个)"○",第2个图案用了$2^2+2=6$(个)"○",第3个图案用了$3^2+3=12$(个)"○",第4个图案用了$4^2+4=20$(个)"○",……,所以第n个图案中"○"的个数为$n^2+n$.答案:$n^2+n$

6. 下列图形是用五角星摆成的,如果按照此规律继续摆下去：

(1)第4个图形需要用13个五角星,第5个图形需要用16个五角星；
(2)第$n$个图形需要用$3n+1$个五角星；
(3)用6076个五角星摆出的图形应该是第2025个图形；
(4)现有1059个五角星,能否摆成符合以上规律的图形(1059个五角星要求全部用上),请说明理由。
不能.理由:由题意,得$3n+1=1059$,所以$n=\frac{1058}{3}$,不是整数,所以1059个五角星不能摆成符合以上规律的图形.

答案： 解:
(1)由题意得,第1个图形需要用五角星的个数为$4=3×1+1$,第2个图形需要用五角星的个数为$7=3×2+1$,第3个图形需要用五角星的个数为$10=3×3+1$,第4个图形需要用五角星的个数为$13=3×4+1$,第5个图形需要用五角星的个数为$16=3×5+1$.故答案为:13 16
(2)由
(1)得,第n个图形需要用五角星的个数为$3n+1$.故答案为:$(3n+1)$
(3)由题意,得$3n+1=6076$,所以$n=2025$.故答案为:2025
(4)不能.理由:由题意,得$3n+1=1059$,所以$n=\frac{1058}{3}$,不是整数,所以1059个五角星不能摆成符合以上规律的图形.