《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册人教版》

4. 观察下列各式：
$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4×5}= \frac{1}{4}-\frac{1}{5}$,…
根据规律解答问题：
(1)第6个等式为______= ______；
(2)计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$；
(3)若有理数$a$,$b满足|a-3|+|b-5|= 0$,求$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+…+\frac{1}{(a+100)(b+100)}$的值。

答案： （1）$\frac{1}{6×7}$ $\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$ （2）$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2025×2026}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$ （3）因为$|a-3|+|b-5|=0$,所以$a-3=0$,$b-5=0$,解得$a=3$,$b=5$.所以$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+\cdots+\frac{1}{(a+100)(b+100)}=\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\cdots+\frac{1}{103×105}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{103}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×\frac{34}{105}=\frac{17}{105}$

5. 计算：
(1)$1-2+3-4+5-6+…+99-100$；
(2)$2-4-6+8+10-12-14+16+18-20-22+24+…[phone]$；
(3)$|\frac{1}{2}-1|+|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}|+|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}|+…+|\frac{1}{2025}-\frac{1}{2024}|$。

答案： （1）原式$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(99-100)=(-1)+(-1)+(-1)+\cdots+(-1)=-50$ （2）原式$=(2-4-6+8)+(10-12-14+16)+(18-20-22+24)+\cdots+(2002-2004-2006+2008)+(2010-2012)=0+0+0+\cdots+0+(-2)=-2$ （3）原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$