《2025年课时提优计划作业本七年级数学上册苏科版基础强化版》

7. 阅读课本材料《几何学的起源》,解决下列问题.
在探索几何学起源的学习中,我们知道古埃及金字塔呈现四棱锥造型,我国古代彩陶上有着精美的几何图案.
(1)现有一个菱形形状的彩陶碎片复原模型,经测量其两条对角线的长度之和为20 cm,且它们的长度比是3∶2,求这个菱形的面积.(提示：菱形面积公式为$ S= \frac{1}{2}× 对角线1× 对角线2 $)
(2)某学校初一数学社团组织同学们去参观一个以几何学起源为主题的展览.社团原计划购买单价为15元的普通门票,后来发现有团体票优惠政策：当人数不超过20人时,没有优惠；当人数超过20人但不超过50人时,每张团体票比普通票便宜3元；当人数超过50人时,每张团体票比普通票便宜5元.已知数学社团购买门票一共花费了480元,请问该数学社团有多少人参加此次活动？

答案：
(1)设两条对角线的长度分别为$3x\ cm$和$2x\ cm$.根据题意,得$3x+2x=20$,解得$x=4$,则两条对角线的长度分别为$3×4=12(cm)$,$2×4=8(cm)$.根据菱形面积公式可得,这个菱形的面积为$\frac{1}{2}×12×8=48(cm^2)$.
(2)分情况讨论:①若人数不超过20人,此时门票单价为15元,则人数为$480÷15=32(人)$,$32＞20$,不符合题意,舍去;②若人数超过20人但不超过50人,此时门票单价为$15-3=12(元)$,则人数为$480÷12=40(人)$,$20＜40＜50$,符合题意;③若人数超过50人,此时门票单价为$15-5=10(元)$,则人数为$480÷10=48(人)$,$48＜50$,不符合题意,舍去.综上所述,该数学社团有40人参加此次活动.

8. 根据素材,完成任务.
| 利用现有木板制作长方体木箱问题 | |
| 素材1 | 如图长方体木箱的长、宽、高分别是3a cm,2a cm,b cm. |
| 素材2 | 现有甲、乙、丙三块木板,甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面,乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面,丙木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面(厚度忽略不计). |
| 问题解决 | |
| 任务1 | 请用含a,b的代数式表示这三块木板的面积. |
| 任务2 | 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3 cm,长侧面周长和短侧面周长之和为23 cm,则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？ |
| 任务3 | 若甲木板面积是乙木板面积的3倍,求箱子侧面积与表面积的比值. |

答案： 任务1:甲木板的长为$3a\ cm$,宽为$(2a+b)\ cm$,因此面积为$3a(2a+b)\ cm^2$,即$(6a^2+3ab)\ cm^2$;乙木板的长为$5a\ cm$,宽为$b\ cm$,因此面积为$5ab\ cm^2$;丙木板的长为$(3a+b)\ cm$,宽为$2a\ cm$,因此面积为$2a(3a+b)\ cm^2$,即$(6a^2+2ab)\ cm^2$. 任务2:因为长方体长侧面周长和短侧面周长的差为$3\ cm$,长侧面周长和短侧面周长的和为$23\ cm$,所以$2(3a+b)-2(2a+b)=3$,$2(3a+b)+2(2a+b)=23$,解得$a=\frac{3}{2}$,$b=2$,所以甲、乙、丙三块木板的面积和为$(6a^2+3ab)+5ab+(6a^2+2ab)=12a^2+10ab=12×\left(\frac{3}{2}\right)^2+10×\frac{3}{2}×2=57(cm^2)$. 任务3:因为甲木板面积是乙木板面积的3倍,即$6a^2+3ab=15ab$,所以$a=2b$.因为长方体箱子的侧面积为$2(3a+2a)b=10ab\ (cm^2)$,长方体的表面积为$10ab+3a\cdot2a×2=(10ab+12a^2)(cm^2)$,所以箱子侧面积与表面积的比值为$\frac{10ab}{10ab+12a^2}=\frac{10\cdot2b\cdot b}{10\cdot2b\cdot b+12\cdot(2b)^2}=\frac{20b^2}{68b^2}=\frac{5}{17}$.