《2025年课时提优计划作业本七年级数学上册苏科版基础强化版》

6. 如图1是一个长方体,AD= AB= 8,AE= 6,图2是图1的表面展开图,请根据要求回答问题.
(1)面“爱”的对面是面“______”.
(2)如果让面“金”在右面,面“都”在后面,则面“______”在上面.
(3)M为图1中长方体的顶点,请在图2中画出图(1)中点M的位置,并求出图2中△ABM的面积.

答案：

(1)远
(2)爱
(3)点 M 如图所示.当点 M 在面“爱”上时,$S_{\triangle ABM}=\frac {1}{2}×8×(8+6)=56$;当点 M 在面“招”上时,$S_{\triangle ABM}=\frac {1}{2}×8×8=32$.综上所述，$\triangle ABM$的面积为 56或 32.

7. 有一个底面为正三角形的直三棱柱形的包装盒如图所示,为了生产这种包装盒,需要先画出表面展开图纸样.
(1)画出这个直三棱柱的表面展开图,并标注尺寸.
(2)求这个包装盒的侧面积.

答案：

(1)如图所示.

(2)侧面积为$20×30×3=1800$.

8. 观察与思考：我们知道$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$,那么$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$的结果等于多少呢？请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,解决后面的问题.
$1^3 = 1^2$; $1^3 + 2^3 = 3^2$; $1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2$; $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2$.
(1)规律观察：$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = $______$^2$.
(2)推算概括：用含n的式子表示出$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$的值.
(3)拓展应用：求$\frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 100}$的值.

答案：
(1)15 解析:因为$1^{3}=1^{2},1^{3}+2^{3}=(1+2)^{2}=3^{2};1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1+2+3)^{2}=6^{2};1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1+2+3+4)^{2}=10^{2}$,所以$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=(1+2+3+4+5)^{2}=15^{2}$.
(2)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+... +n^{3}=(1+2+3+... +n)^{2}=[\frac {n(n+1)}{2}]^{2}$.
(3)原式$=\frac {(1+2+3+... +100)^{2}}{1+2+3+... +100}=1+2+3+... +100=\frac {100×(100+1)}{2}=5050$.