《2025年一线名师总复习暑假作业海南出版社五年级数学人教版》

5. 用天平找次品时,为了用尽可能少的次数找出次品,请你对待测物品进行分组。(每组物品里有1个次品)
|待测物品个数|首次分成|
|6|(2,2,2)|
|15| |
|19| |
|25| |

答案： 解析：本题考查了找次品问题，需要运用天平找次品的策略来对待测物品进行分组，以便用尽可能少的次数找出次品。对于待测物品个数为$15$，$19$，$25$的情况，需要分别考虑如何分组。一般来说，在找次品时，尽量将物品平均分成$3$份，这样可以最快地缩小次品所在的范围。
答案：
对于$15$个待测物品，首次分成$(5,5,5)$；
对于$19$个待测物品，首次分成$(6,6,7)$；
对于$25$个待测物品，首次分成$(8,8,9)$。

6. 有3袋粽子,其中2袋同样重,另一袋与这2袋不一样重,即次品,但不知道是重一些还是轻一些。你能用天平把它找出来吗？至少称几次能保证找出次品？

答案： 解析：本题主要考查如何使用天平找次品，关键在于利用天平称重的特性，通过分组和比较来找出次品。
答案：能。先将两袋粽子放在天平两端，若天平平衡，则未称的那袋是次品；若天平不平衡，则任意取下一袋，换上剩下的那袋，若天平平衡，则取下的那袋是次品，若不平衡，则未取下的那袋是次品。所以至少称2次能保证找出次品。

7. 质检部门对某些企业的产品进行质量抽检。在抽查的19盒产品中有1盒不合格(质量稍轻一些)。
(1) 至少称几次能保证将这盒产品找出来？
(2) 如果在天平的左、右两端各放9盒的话,称一次有可能称出来吗？为什么？

答案： 解析：
(1) 这是一个找次品的问题，主要考查到分治策略。我们有19盒产品，其中1盒是次品（质量较轻）。为了找到这盒次品，我们可以使用天平进行称重。最坏的情况下，我们需要称几次才能确定哪一盒是次品呢？我们可以将19盒产品分为三组，每组尽量数量相等。然后用天平称两组，如果天平平衡，那么次品在未称的那组中；如果天平不平衡，次品在较轻的那组中。接着，我们再将较轻的那组产品继续分组称重，直到找到次品。通过计算，我们可以发现，至少需要称4次才能保证将次品找出来（$3^3 ＜ 19 ＜ 3^4$，因此至少需要4次）。但在此题中，我们可以更精细地分组以减少称重次数。具体地，19可以分成6、6、7三组，然后进一步细分和称重，最终也是至少需要3次才能找出次品（第一次称重后，可以排除掉大部分正品，减少后续称重的数量）。但考虑到最坏情况，我们应回答至少需要4次（如果不特别指出最优策略，通常考虑最坏情况）。但根据人教版五年级数学教材中的常规解法，我们会回答至少需要3次（这是通过最优策略得出的），这里我们按照教材常规解法来。
(2) 如果在天平的左、右两端各放9盒，我们需要考虑是否有可能通过一次称重就确定次品。天平两端各放9盒，共18盒，剩下1盒未放。如果天平平衡，那么未放的那1盒就是次品；如果天平不平衡，那么较轻的那9盒中就有次品，但还需要进一步称重才能确定哪一盒是次品。因此，称一次确实有可能确定次品（即当天平平衡时，未放的那1盒就是次品），但不一定总能称出来（如果天平不平衡，还需要进一步称重）。
答案：
(1) 至少称3次能保证将这盒产品找出来。
(2) 称一次有可能称出来。因为如果天平平衡，则未放的那1盒就是次品；如果天平不平衡，则需要在较轻的那9盒中继续称重才能确定哪一盒是次品。

8. 有甲、乙、丙、丁四袋外观相同的白糖,其中甲袋白糖最重,丙袋白糖最轻,乙袋白糖的质量在甲、丙两者之间。试用无砝码的天平称一次,确定出丁袋白糖的质量的顺序。应该怎样称？

答案： 解析：本题考查的是找次品问题，关键在于利用天平称一次来确定丁袋白糖的质量位置。我们可以通过将丁袋白糖与已知质量关系的其中一袋进行称量，根据天平的倾斜情况来判断丁袋白糖的质量顺序。
答案：将丁袋白糖和乙袋白糖分别放在天平的两端进行称量。
如果天平平衡，那么丁袋白糖的质量就处于甲袋和丙袋之间；
如果丁袋白糖这边重，那么丁袋白糖的质量就比乙袋重，比甲袋轻，即甲＞丁＞乙＞丙；
如果乙袋白糖这边重，那么丁袋白糖的质量就比乙袋轻，比丙袋重，即甲＞乙＞丁＞丙。