《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

【例4】若关于x的方程$\frac {2}{x-2}+\frac {x+m}{x^{2}-4}= 2$有增根,求m的值?
【解析】先把分式方程化为整式方程得到$2(x+2)+x+m= 2(x+2)(x-2)$,再根据增根的定义得到原方程的增根可能为2或-2,然后把$x= 2或x= -2$代入整式方程,分别计算出对应的m的值.

答案： 【解】方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得$2(x+2)+x+m= 2(x+2)(x-2)$,
∵原方程有增根,
∴$x= 2或x= -2$,
把$x= 2代入2(x+2)+x+m= 2(x+2)(x-2)$,得$m= -10$;
把$x= -2代入2(x+2)+x+m= 2(x+2)(x-2)$,得$m= 2$,
即$m= -10$或2时,分式方程有增根.
类型4 分式方程的应用

【例5】政府为了美化人民公园,计划对公园某区域进行改造,这项工程先由甲工程队施工10天完成了工程的$\frac {1}{4}$,为了加快工程进度,乙工程队也加入施工,甲、乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程,求乙工程队单独完成这项工程需要几天.
【解析】可设乙工程队单独完成这项工程需要x天,根据等量关系:甲、乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程,即工程总量$1-\frac {1}{4}$,依此列出方程求解即可.

答案：

【解】$10÷\frac {1}{4}= 40$(天),

设乙工程队单独完成这项工程需要x天,依题意有$(\frac {1}{x}+\frac {1}{40})×10= 1-\frac {1}{4}$,

解得$x= 20$,经检验,$x= 20$是原方程的解.

答:乙工程队单独完成这项工程需要20天.

【例6】某商店用640元钱购进水果销售,过了一段时间,又用1600元钱购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元.
(1)该商店第一次购进水果多少千克?
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售,最后剩下的50千克水果按标价的六折优惠销售.若两次购进水果全部售完,利润不低于400元,则每千克水果的标价至少是多少元?
注:每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差,两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和.
【解析】(1)设该商店第一次购进水果x千克,则第二次购进水果2x千克,然后根据每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元,列出方程求解即可;
(2)设每千克水果的标价是y元,然后根据两次购进水果全部售完,利润不低于400元列出不等式,然后求解即可得出答案.

答案：

【解】
(1)设该商店第一次购进水果x千克,根据题意得:$\frac {1600}{2x}-\frac {640}{x}= 2$,

解得:$x= 80$,

经检验,$x= 80$是原方程的解,

答:该商店第一次购进水果80千克.

(2)设每千克水果的标价是y元,

则$(80+160-50)y+50×60\% y-640-1600≥400$,

解得:$y≥12$,

答:每千克水果的标价至少是12元.