《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

17. (10 分) 如图,在△ABC 中,∠A = 90°,DE⊥BC,BD 平分∠ABC,AD = 6 cm,BC = 15 cm,求△BDC 的面积。

答案：
解:
∵BD平分∠ABC，∠A = 90°，DE⊥BC，
∴DE = AD = 6cm，
∴$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}×BC×DE=\frac{1}{2}×15×6 = 45cm²$

18. (10 分) 如图,△ABC 两个外角的平分线 BP、CP 相交于点 P。求证：点 P 在∠A 的平分线上。

答案： [证明]如图，过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE。
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，
∴PF = PG，PG = PH，
∴PF = PG = PH，
∴点P必在∠A的平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)。

19. (10 分) 如图,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,若 BD = CD、BE = CF。
(1) 求证：AD 平分∠BAC；
(2) 直接写出 AB + AC 与 AE 之间的等量关系。

答案：
(1)[证明]
∵△BDE与△CDF均为直角三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，$\begin{cases}BE = CF \\ ∠BED = ∠CFD = 90°\end{cases}$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE = DF，即AD平分∠BAC；
(2)解:AB + AC = 2AE。理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD。
∵∠E = ∠AFD = 90°，∠ADE = ∠ADF，AD = AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE = AF，
∴AB + AC = AE - BE + AF + CF = AE + AE = 2AE。

20. (12 分) 已知：如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AB = AC = AD,∠DAC = ∠ABC。
(1) 求证：BD 平分∠ABC；
(2) 若∠DAC = 45°,OA = 1,求 OC 的长。

答案：

(1)[证明]
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∵∠DAC = ∠ABC，
∴∠DAC = ∠ACB，
∴AD//BC，
∴∠ADB = ∠CBD。
又
∵AB = AD，
∴∠ADB = ∠ABD，
∴∠ABD = ∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
(2)解:过点O作OE⊥BC于E。
∵∠DAC = 45°，∠DAC = ∠ABC，
∴∠ABC = ∠ACB = 45°，
∴∠BAC = 90°。
∵BD平分∠ABC，
∴OE = OA = 1。在Rt△OEC中，∠ACB = 45°，OE = 1，
∴$OC = \sqrt{2}$。

21. (12 分) 如图,在△ABC 中,∠A = 60°,点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC,∠ABC 的平分线 BF 交 DE 于△ABC 内一点 P,连接 PC。
(1) 若∠ACP = 24°,求∠ABP 的度数；
(2) 若∠ACP = m°,∠ABP = n°,请直接写出 m,n 满足的关系式。

答案： 解:
(1)
∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB = PC，
∴∠PBC = ∠PCB。
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC = ∠ABP，
∴∠PBC = ∠PCB = ∠ABP。
∵∠A = 60°，∠ACP = 24°，
∴∠PBC + ∠PCB + ∠ABP = 180° - 60° - 24°，
∴3∠ABP = 96°，
∴∠ABP = 32°；
(2)由
(1)知，3∠ABP + ∠ACP + ∠A = 180°，
∴3n° + m° = 120°，故答案为:m + 3n = 120。