《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

【例 4】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,△ABC 的面积是 8 cm^2,AB = 5 cm,AC = 3 cm,求 DE 的长。

答案：

【解】
∵ 在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,

∴ DE = DF,

∵ △ABC 的面积是 8 cm^2,AB = 5 cm,AC = 3 cm,

∴ $\frac{1}{2}×5×DE + \frac{1}{2}×3×DF = 8$,

解得 DE = DF = 2(cm),

即 DE 的长是 2 cm。

【例 5】如图,△ABC 的三边 AB,BC,CA 长分别是 20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则 $S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}$ 等于 (C)

A.1:1:1
B.1:2:3
C.2:3:4
D.3:4:5

答案：

【解析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知以△ABC 三条边为底的三角形的三个高相等,底分别是 20,30,40,所以面积之比就是 2:3:4。故选 C。

【答案】C

【例 6】已知：如图,△ABC 的角平分线 BE、CF 相交于点 P。求证：点 P 在∠A 的平分线上。

答案：

【证明】如图,过点 P 作 PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC 垂足分别为 D、M、N,

∵ BE 平分∠ABC,点 P 在 BE 上,
∴ PD = PM,

同理,PM = PN,
∴ PD = PN,

∴ 点 P 在∠A 的平分线上。

【例 7】如图,直线 l、l'、l'' 表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )


A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

答案：
【解析】如图,满足条件的加油站的地址有四处。故选 D。

【答案】：D

【例 8】如图,在△ABC 中,D 为 BC 中点,DE⊥BC 交∠BAC 的平分线 AE 于点 E,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 AC 的延长线于点 G。请猜想 BF 和 CG 之间有什么数量关系？并说明理由。

答案：

【解】BF = CG。理由如下：

连接 EB、EC。

∵ AE 是∠BAC 的平分线,且 EF⊥AB 于 F,EG⊥AC 于 G,

∴ EF = EG。

∵ ED⊥BC 于 D,D 是 BC 的中点,

∴ EB = EC,

∵ EF⊥AB,EG⊥AC,

∴ △EFB 和△EGC 都是直角三角形。

在 Rt△EFB 和 Rt△EGC 中,BE = CE,EF = EG,

∴ Rt△EFB≌Rt△EGC,

∴ BF = CG。