《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

19. (10分)如图,直线$AB$,$CD分别与直线AC相交于点A$,$C$,与直线$BD相交于点B$,$D$.若$∠1= ∠2$,$∠3= 75^{\circ}$,求$∠4$的度数.

答案： 解：$\because \angle 1 = \angle 2$，
$\therefore AB // CD$（同位角相等，两直线平行）。
$\because AB // CD$，
$\therefore \angle 4 = \angle 3$（两直线平行，内错角相等）。
$\because \angle 3 = 75^{\circ}$，
$\therefore \angle 4 = 75^{\circ}$。

20. (10分)已知:如图,$AD// BE$,$∠1= ∠2$,求证:$∠A= ∠E$.

答案： 【证明】
∵AD//BE，
∴∠A=∠3（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1=∠2，
∴DE//AC（内错角相等，两直线平行）。
∴∠E=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠A=∠E。

21. (10分)如图,$CD// AB$,$∠DCB= 70^{\circ}$,$∠CBF= 20^{\circ}$,$∠EFB= 130^{\circ}$.
(1)问直线$EF与AB$有怎样的位置关系?加以证明;
(2)若$∠CEF= 70^{\circ}$,求$∠ACB$的度数.

答案：
(1)$EF// AB$。
证明：$\because CD// AB$，$\angle DCB=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle DCB=70^{\circ}$。
$\because \angle CBF=20^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF=\angle ABC - \angle CBF=70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$。
$\because \angle EFB=130^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF+\angle EFB=50^{\circ}+130^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore EF// AB$。
(2)$\because EF// AB$，$CD// AB$，
$\therefore EF// CD$。
$\because \angle CEF=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ECD=180^{\circ}-\angle CEF=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
$\because \angle DCB=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle ECD - \angle DCB=110^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$。

22. (12分)在数学实践课上,老师在黑板上画出如下的图形(其中点$B$、$F$、$C$、$E$在同一条直线上),并写出四个条件:①$AB= DE$,②$∠1= ∠2$.③$BF= EC$,④$∠B= ∠E$,交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论,组成一个真命题.
(1)写出所有的真命题.(用序号表示题设、结论)
(2)请选择一个给予证明.

答案：
(1)情况一：题设：①②④；结论：③；情况二：题设①③④；结论：②；情况三：题设②③④；结论：①。
(2)选择题设：①③④；结论：②。
证明：
∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}AB=DE\\\angle B=\angle E\\BC=EF\end{cases}$，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠1=∠2。