《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

20.(8分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.

答案： 解：设鸡有$x$只，兔有$y$只，则$\left\{\begin{array}{l}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{array}\right.$，解方程组得$\left\{\begin{array}{l}x = 23\\y = 12\end{array}\right.$，
答：鸡有32只，兔有12只。

21.(9分)某物流公司现有31吨货物,计划同时租用$A型车a$辆,$B型车b$辆,准备一次运完,且恰好每辆车都载满货物.已知：每辆$A$型车载满货物一次可运货3吨,每辆$B$型车载满货物一次可运货4吨.
(1)请你帮该物流公司设计租车方案；
(2)若$A$型车每辆需租金100元/次,$B$型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.

答案： 解
(1)依题意得：$3a + 4b = 31$，因为$a$、$b$都是整数，所以$\left\{\begin{array}{l}a = 9\\b = 1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a = 1\\b = 7\end{array}\right.$。
答：有3种租车方案：
方案一：$A$型车9辆，$B$型车1辆；方案二：$A$型车5辆，$B$型车4辆；方案三：$A$型车1辆，$B$型车7辆。
(2)$\because A$型车每辆需租金100元/次，$B$型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：$9×100 + 1×120 = 1020$（元）；
方案二需租金：$5×100 + 4×120 = 980$（元）；
方案三需租金：$1×100 + 7×120 = 940$（元）。
$\because1020＞980＞940$，
∴最省钱的租车方案是方案三：$A$型车1辆，$B$型车7辆，最少租车费为940元。

22.(9分)小明作业本中有一页被墨水污染了,已知他所列的方程组是正确的.写出题中被墨水污染的条件,并求解这道应用题.
应用题：小东在某商场看中一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元.由于该商场开展“五一”促销活动.同样的电视打八折销售,于是小东在促销期间购买了同样的电视一台,空调两台,共花费7200元.求“五一”前同样电视和空调每台多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台$x$元,空调每台$y$元,根据题意,得
$0.8x + 2(y - 400) = 7200$.

答案： 被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元。
解：设“五一”前同样的电视每台$x$元，空调每台$y$元，根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 5500 \\ 0.8x + 2(y - 400) = 7200\end{cases}$
由第一个方程得：$x = 5500 - y$
将$x = 5500 - y$代入第二个方程：
$0.8(5500 - y) + 2(y - 400) = 7200$
$4400 - 0.8y + 2y - 800 = 7200$
$1.2y + 3600 = 7200$
$1.2y = 3600$
$y = 3000$
将$y = 3000$代入$x = 5500 - y$，得$x = 5500 - 3000 = 2500$
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元。

23.(12分)已知关于$x$,$y的二元一次方程(a - 1)x + (a + 2)y + 5 - 2a = 0$,当$a$每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.

答案： 解：将方程$(a - 1)x + (a + 2)y + 5 - 2a = 0$整理为含$a$的形式：
$a(x + y - 2) + (-x + 2y + 5) = 0$。
因为方程的公共解与$a$的取值无关，所以$a$的系数及常数项均为$0$，即：
$\begin{cases}x + y - 2 = 0 \\-x + 2y + 5 = 0\end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得$x = 2 - y$，代入第二个方程：
$-(2 - y) + 2y + 5 = 0$
$-2 + y + 2y + 5 = 0$
$3y + 3 = 0$
$y = -1$
将$y = -1$代入$x = 2 - y$，得$x = 2 - (-1) = 3$。
所以公共解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases}$。