《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

21. (9分)平面直角坐标系$xOy$中,点$P的坐标为(m+1,m-1)$.
(1)试判断点$P是否在一次函数y= x-2$的图象上,并说明理由；
(2)如图,一次函数$y= -\frac{1}{2}x+3的图象与x$轴、$y轴分别相交于点A$、$B$,若点$P在\triangle AOB$的内部,求$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵当x=m+1时,y=m+1−2=m−1,
∴点P(m+1,m−1)在函数y=x−2图象上.
(2)
∵函数y=−$\frac{1}{2}$x+3，
∴A(6,0),B(0,3),
∵点P在△AOB的内部，
∴0＜m+1＜6,0＜m−1＜3,m−1＜−$\frac{1}{2}$(m+1)+3,
∴1＜m＜$\frac{7}{3}$

22. (9分)过点$(-1,7)的直线l与x$轴、$y轴分别交于点A$、$B$,且与直线$y= -\frac{4}{3}x$平行.
(1)求直线$l$的解析式；
(2)写出在线段$AB$上,横、纵坐标都是整数的点的坐标.

答案： 解:
(1)
∵直线l与直线y=−$\frac{4}{3}$x平行，
∴设直线l的解析式为y=−$\frac{4}{3}$x+b.
　将点(−1,7)代入得:$\frac{4}{3}$+b=7,解得b=$\frac{17}{3}$
∴直线AB的解析式为y=−$\frac{4}{3}$x+$\frac{17}{3}$
(2)令y=0得:−$\frac{4}{3}$x+$\frac{17}{3}$=0,解得x=$\frac{17}{4}$
∴0≤x≤$\frac{17}{4}$的整数为0、1、2、3、4.
　当x=2时，对应的y值是整数，y=3，
∴在线段AB上横、纵坐标都是整数的点是(2,3).

23. (江西中考)(12分)如图,是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为$x cm$,双层部分的长度为$y cm$,经测量,得到如下数据：
|单层部分的长度$x(cm)$|…$$|4|6|8|10|…$$|150|
|双层部分的长度$y(cm)$|…$$|73|72|71| |…$$| |
(1)根据表中数据的规律,完成以下表格,并直接写出$y关于x$的函数解析式；
(2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120cm时,背起来正合适,请求出此时单层部分的长度；
(3)设挎带的长度为$l cm$,求$l$的取值范围.

答案： 解:
(1)观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b,
则有$\left\{\begin{array}{l}4k+b=73\\6k+b=72\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\b=75\end{array}\right.$,
∴y=−$\frac{1}{2}$x+75.
当x=10时,y=70，x=150时，y=0;
(2)由题意$\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\y=-\frac{1}{2}x+75\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=90\\y=30\end{array}\right.$,
∴单层部分的长度为90cm.
(3)由题意当y=0,x=150,当x=0时，y=75,
∴75≤l≤150.