《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

12.如图,在△ABC中,AB的中垂线交AB于点E,交BC于点D,若△ADC的周长为17cm,AC= 5cm,则BC的长为(C)

A.7cm
B.10cm
C.12cm
D.22cm

答案： C

13.已知点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,则(D)
A.PA+PB＞QA+QB
B.PA+PB＜QA+QB
C.PA+PB= QA+QB
D.不能确定

答案： D

14.在等边△ABC所在平面内找出一个点,使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形.这样的点一共有(D)
A.1个
B.4个
C.7个
D.10个

答案： D

15.(内江中考)(6分)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE//AC.求证：△BDE是等腰三角形.

答案：
【证明】
∵ DE//AC，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ ∠2 = ∠3，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠2 + ∠B = 90°，∠3 + ∠BDE = 90°，
∴ ∠B = ∠BDE，
∴ △BDE 是等腰三角形.

16.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.
求证：∠CAB= ∠AED.

答案： 【证明】
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ EA = EB.
∴ ∠EAB = ∠B.
∵ ∠C = 90°，
∴ ∠CAB + ∠B = 90°.
又
∵ ∠AED + ∠EAB = 90°，
∴ ∠CAB = ∠AED.

17.(6分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图,在△ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F.
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
证明：∵点P是AB边垂直平分线上的一点,
∴PA=PB(垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等).
同理可得,PB=PC.
∴PA=PC(等量代换).
∴点P在AC的垂直平分线上.
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P,且PA=PB=PC.

答案： 解：点 P 在 AC 的垂直平分线上，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，
∴ PA = PC.
又
∵ ∠ACB = 90°，DE 垂直平分 AB，
∴ ∠EAD = ∠B，∠EAD + ∠CAD = 90°，∠B + ∠CAB = 90°，
∴ ∠CAD = ∠CAB，即 AD 是 ∠CAB 的平分线，点 P 在 AD 上，所以 PA = PB = PC.

18.(7分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD= DE.
(1)若∠BAE= 40°,求∠C的度数；
(2)若△ABC周长13cm,AC= 6cm,求DC的长.

答案： 解：
(1)
∵ AD 垂直平分 BE，EF 垂直平分 AC，
∴ AB = AE = EC，
∴ ∠C = ∠CAE，
∵ ∠BAE = 40°，
∴ ∠AED = 70°，
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$∠AED = 35°；
(2)
∵ △ABC 周长 13 cm，AC = 6 cm，
∴ AB + BE + EC = 7 cm，即 2DE + 2EC = 7 cm，
∴ DE + EC = DC = 3.5 cm.