《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

18. (7分)若最简二次根式$\sqrt [3x-10]{2x+y-5}和\sqrt {x-3y+11}$是同类二次根式.
(1)求x、y的值;
(2)求$\sqrt {x^{2}+y^{2}}$的值.

答案：
(1)解：由题意得，
$\begin{cases}3x - 10 = 2 \\2x + y - 5 = x - 3y + 11\end{cases}$
解第一个方程：$3x = 12$，得$x = 4$。
将$x = 4$代入第二个方程：$2×4 + y - 5 = 4 - 3y + 11$，
即$8 + y - 5 = 15 - 3y$，$3 + y = 15 - 3y$，$4y = 12$，得$y = 3$。
(2)解：当$x = 4$，$y = 3$时，
$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

19. (7分)如图,已知A,B是数轴上的两点,O为原点,$AB= 12$,点B表示的数为4,点P、Q分别从O、B同时出发,沿数轴向不同的方向运动,点P速度为每秒1个单位,点Q为每秒2个单位,设运动时间为t,当PQ的长为5时,求t的值及AP的长.

答案： 解：
∵点B表示的数为4，O为原点，
∴OB=4。
∵AB=12，
∴OA=AB-OB=12-4=8，即点A表示的数为-8。
情况1：点P向左运动，点Q向右运动
运动t秒后，点P表示的数为-t，点Q表示的数为4+2t。
PQ的距离为|(4+2t)-(-t)|=|4+3t|=5。
∵P向左、Q向右，PQ=5，
∴4+3t=5（t＞0），解得t=1/3。
此时点P表示的数为-1/3，AP=|-1/3 - (-8)|=|-1/3 + 8|=23/3。
情况2：点P向右运动，点Q向左运动
运动t秒后，点P表示的数为t，点Q表示的数为4-2t。
PQ的距离为|t-(4-2t)|=|3t-4|=5。
∵P向右、Q向左，PQ=5，
∴3t-4=5（t＞0），解得t=3。
此时点P表示的数为3，AP=|3 - (-8)|=11。
综上：t的值为1/3时，AP=23/3；t的值为3时，AP=11。
答：t的值为1/3或3，对应的AP长为23/3或11。

20. (8分)若实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,化简代数式$\sqrt {(a+c)^{2}}-|b-c|$.

答案： 解：由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$|c| ＞ |a|$，
$\therefore a + c ＜ 0$，$b - c ＞ 0$，
则原式$=|a + c| - |b - c| = -(a + c) - (b - c) = -a - c - b + c = -a - b$。

21. (9分)已知某正数的两个平方根分别是$a-3和2a+15$,b的立方根是-2.求-2a-b的算术平方根.

答案： 解：
∵某正数的两个平方根分别是$a - 3$和$2a + 15$，
∴$(a - 3) + (2a + 15) = 0$，
解得$a = -4$。
∵$b$的立方根是$-2$，
∴$b = (-2)^3 = -8$。
∴$-2a - b = -2×(-4) - (-8) = 8 + 8 = 16$。
∵$16$的算术平方根是$4$，
∴$-2a - b$的算术平方根是$4$。

22. (9分)已知一个正数的两个平方根分别为$2a+5和3a-15$.
(1)求这个正数;
(2)请估算30a的算术平方根在哪两个连续整数之间.

答案：
(1)解：
∵一个正数的两个平方根分别为$2a + 5$和$3a - 15$，
∴$2a + 5 + (3a - 15) = 0$，
解得$a = 2$，
∴$2a + 5 = 2×2 + 5 = 9$，
∴这个正数为$9^2 = 81$；
(2)解：$30a = 30×2 = 60$，
∵$49＜60＜64$，
∴$\sqrt{49}＜\sqrt{60}＜\sqrt{64}$，
即$7＜\sqrt{60}＜8$，
∴$30a$的算术平方根在$7$和$8$之间。

23. (12分)观察下列等式:①$\sqrt {1+\frac {1}{3}}= 2\sqrt {\frac {1}{3}}$;②$\sqrt {2+\frac {1}{4}}= \sqrt {\frac {1}{4}}$;③$3\sqrt {3+\frac {1}{5}}= 4\sqrt {\frac {1}{5}}$……
(1)请写出第④个式子;
(2)请将猜想到的规律用含$n(n≥1)$的式子表示出来.

答案：
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$；
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$（$n≥1$）。