《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

22. (9分)中国古代对勾股定理有深刻的认识.
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形,中间空白部分是一个小正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,求$(a + b)^2$的值.
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究,他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则求其边长的方法为：第一步$\frac{S}{6}$ = m；第二步：$\sqrt{m}$ = k；第三步：分别用3,4,5乘k,得三边长.当面积S等于150时,请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长.

答案：
(1) 解：由勾股定理得 $a^2 + b^2 = 13$，四个直角三角形面积和为 $13 - 1 = 12$，即 $\frac{1}{2}ab × 4 = 12$，化简得 $2ab = 12$，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 12 = 25$。
(2) 解：当 $S = 150$ 时，$m = \frac{S}{6} = \frac{150}{6} = 25$，$k = \sqrt{m} = \sqrt{25} = 5$，三边长分别为 $3×5 = 15$，$4×5 = 20$，$5×5 = 25$。

23. (12分)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为
$\begin{cases}a = \frac{1}{2}(m^2 - n^2) \\ b = mn \\ c = \frac{1}{2}(m^2 + n^2)\end{cases} $.
其中m ＞ n ＞ 0,m,n是互质的奇数.
应用：当n = 1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.

答案： 解：当$n = 1$时，勾股数组公式为：
$a=\frac{1}{2}(m^2 - 1)$，$b = m$，$c=\frac{1}{2}(m^2 + 1)$（$m ＞ 1$，$m$是奇数且与$1$互质）。
∵直角三角形有一边长为$5$，分三种情况讨论：
Ⅰ、当$a = 5$时，$\frac{1}{2}(m^2 - 1)=5$，
$m^2 - 1 = 10$，
$m^2 = 11$，
解得$m=\pm\sqrt{11}$（$m$不是正整数，舍去）。
Ⅱ、当$b = 5$时，即$m = 5$，
代入$a=\frac{1}{2}(m^2 - 1)$得：$a=\frac{1}{2}(5^2 - 1)=\frac{1}{2}(25 - 1)=12$，
代入$c=\frac{1}{2}(m^2 + 1)$得：$c=\frac{1}{2}(5^2 + 1)=\frac{1}{2}(25 + 1)=13$。
Ⅲ、当$c = 5$时，$\frac{1}{2}(m^2 + 1)=5$，
$m^2 + 1 = 10$，
$m^2 = 9$，
解得$m = 3$（$m=-3$舍去，$m ＞ 0$），
代入$a=\frac{1}{2}(m^2 - 1)$得：$a=\frac{1}{2}(3^2 - 1)=\frac{1}{2}(9 - 1)=4$，
$b = m = 3$。
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为$12$，$13$或$3$，$4$。