《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

14. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM = $2\sqrt{2}$EF,则正方形ABCD的面积为(C)

A.12S
B.10S
C.9S
D.8S

答案： C

15. (6分)如图,每个小方格都是边长为1的正方形,求图中格点四边形ABCD的面积.

答案： 解：连接AC。
∵ $ S_{\triangle ADC} = 5 × 2 ÷ 2 = 5 $，$ S_{\triangle ABC} = 5 × 3 ÷ 2 = 7.5 $，
∴ 四边形ABCD的面积 $ = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle ABC} = 5 + 7.5 = 12.5 $。

16. (6分)如图,甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行,乙轮船同时同地向西南方向航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点,且知AB = 30海里,问乙轮船每小时航行多少海里？

答案： 解：
∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴∠AOB=90°，即AO⊥BO。
∵甲轮船速度为16海里/小时，航行时间1.5小时，
∴OB=16×1.5=24海里。
在Rt△AOB中，AB=30海里，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{30^{2}-24^{2}}=\sqrt{900 - 576}=\sqrt{324}=18$海里。
∴乙轮船速度为18÷1.5=12海里/小时。
答：乙轮船每小时航行12海里。

17. (6分)如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB = 15km,BC = 9km,AC = 12km.已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB,为了实现村村通公路,现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB.已知公路的造价为10000元/km,求修这条公路的最低造价是多少？

答案： 解：
∵ $ BC^{2} + AC^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225 $，$ AB^{2} = 15^{2} = 225 $，
∴ $ BC^{2} + AC^{2} = AB^{2} $，
∴ $ \angle ACB = 90^{\circ} $。
当 $ CD \perp AB $ 时，$ CD $ 最短，造价最低。
∵ $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD $，
∴ $ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 × 9}{15} = 7.2 $（km）。
最低造价为：$ 7.2 × 10000 = 72000 $（元）。
答：最低造价为 72000 元。