《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

22. (9分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,连接AE,CF。
(1)如图1,求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如图2,过点D作DG⊥AB,垂足为点G,若AG= AB,请直接写出图2中所有与CF相等的线段(不包括CF)。

答案：
解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，$ AD = BC $，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴ $ CE = \frac{1}{2}BC $，$ AF = \frac{1}{2}AD $，
∴ $ AF = EC $，又
∵ $ AF // CE $，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）如图2，连接AC.
∵ $ AG = AB = CD $，$ AG // CD $，
∴四边形AGDC是平行四边形，
∵ $ \angle G = 90^{\circ} $，
∴四边形AGDC是矩形.
∴ $ \angle ACD = \angle GAC = \angle BAC = 90^{\circ} $.
∵ $ AF = DF $，$ BE = EC $，
∴ $ CF = AF = DF $，$ AE = BE = CE $，
∴与CF相等的线段有AF，DF，BE，CE，AE.

23. (12分)学习了《平行四边形》一章以后,小东根据学习平行四边形的经验,对平行四边形的判定问题进行了再次探究。
以下是小东探究过程,请补充完整：
(1)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB//CD,补充下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是______(写出一个你认为正确选项的序号即可)；
(A)BC= AD
(B)∠BAD= ∠BCD
(C)AO= CO
(2)将(1)中的命题用文字语言表述为：
①命题1：______；
②画出图形,并写出命题1的证明过程；
(3)小东进一步探究发现：
若一个四边形ABCD的三个顶点A,B,C的位置如图所示,且这个四边形满足CD= AB,∠D= ∠B,但四边形ABCD不是平行四边形,画出符合题意的四边形ABCD,进而小东发现：命题2“一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题。

答案：
解：（1）B或C；
（2）①一组对边平行，对角线的交点平分一条对角线的四边形是平行四边形；
②已知：如图，在四边形ABCD中，$ AB // CD $，对角线AC与BD交于点O，$ AO = CO $.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
【证明】
∵ $ AB // CD $，
∴ $ \angle ABO = \angle CDO $，$ \angle BAO = \angle DCO $，
∵ $ AO = CO $，
∴ $ \triangle AOB \cong \triangle COD $，
∴ $ AB = CD $，
又
∵ $ AB // CD $，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（3）如图所示，四边形ABCD满足 $ CD = AB $，$ \angle D = \angle B $，但四边形ABCD不是平行四边形.