《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

21. (9分)已知关于x的分式方程$\frac {2}{x-1}+\frac {mx}{(x-1)(x+2)}= \frac {1}{x+2}$。
(1)若方程的增根为$x= 1$,求m的值；
(2)若方程有增根,求m的值；
(3)若方程无解,求m的值。

答案： 解：方程两边同时乘$(x + 2)(x - 1)$，去分母并整理得$(m + 1)x = -5$，
（1）$\because x = 1$是分式方程的增根，$\therefore 1 + m = -5$，解得：$m = -6$；
（2）$\because$原分式方程有增根，$\therefore (x + 2)(x - 1) = 0$，解得：$x = -2$或$x = 1$，当$x = -2$时，$m = 1.5$；当$x = 1$时，$m = -6$；
（3）当$m + 1 = 0$时，该方程无解，此时$m = -1$；
当$m + 1 \neq 0$时，要使原方程无解，由（2）得：$m = -6$或$m = 1.5$。
综上，$m$的值为$-1$或$-6$或$1.5$。

22. (9分)阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中,老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程$\frac {a}{x-1}+\frac {3}{1-x}= 1$的解为正数,那么a的取值范围是什么？
经过交流后,形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程,得到方程的解为$x= a-2$。
因为解是正数,可得$a-2＞0$,所以$a＞2$。
小强说：本题还要必须$a≠3$,所以a的取值范围是$a＞2且a≠3$。
(1)小明与小强谁说的对,为什么？
(2)关于x的方程$\frac {mx-1}{x-2}+\frac {1}{2-x}= 2$有整数解,求整数m的值。

答案： 解：（1）小强的说法对，理由如下：解这个关于$x$的分式方程，得到方程的解为$x = a - 2$，因为解是正数，可得$a - 2 ＞ 0$，即$a ＞ 2$，同时$a - 2 \neq 1$，即$a \neq 3$，则$a$的取值范围是$a ＞ 2$且$a \neq 3$；
（2）去分母得：$mx - 1 - 1 = 2x - 4$，整理得：$(m - 2)x = -2$，当$m \neq 2$时，解得：$x = -\frac{2}{m - 2}$。
由方程有整数解，得到$m - 2 = \pm1$，$m - 2 = \pm2$，又$\because x - 2 \neq 0$，$\therefore -\frac{2}{m - 2} \neq 2$，解得$m \neq 1$。
$\therefore m$值为3，4，0。
解得：$m = 3$，1，4，0。

23. (12分)为厉行节能减排,倡导绿色出行,今年3月以来“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区。某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”,这批自行车包括A、B两种不同款型,请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放,共投放A、B两型自行车各50辆,投放成本共计7500元,其中B型车的成本单价比A型车高10元,A、B两型自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”,乙街区每1000人投放$\frac {8a+240}{a}$辆“小黄车”,按照这种投放方式,甲街区共投放1500辆,乙街区共投放1200辆,如果两个街区共有15万人,试求a的值。

答案： 解：问题1：设$A$型车的成本单价为$x$元，则$B$型车的成本单价为$(x + 10)$元，依题意得$50x + 50(x + 10) = 7500$，解得$x = 70$，$\therefore x + 10 = 80$，答：$A$、$B$两型自行车的单价分别是70元和80元；
问题2：由题可得，$\frac{1500}{a} × 1000 + \frac{1200}{8a + 240} × 1000 = 150000$，解得$a = 15$，经检验：$a = 15$是所列方程的解，故$\frac{a}{a}$的值为15。