《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

16. (6分)解方程：
(1)$\frac {x+3}{x-3}-\frac {4}{x+3}= 1$。
(2)$\frac {x-2}{x+2}+\frac {4}{x^{2}-4}= 1$。

答案： 解：（1）$(x + 3)^{2}-4(x - 3) = (x - 3)(x + 3)$，$x^{2}+6x + 9 - 4x + 12 = x^{2}-9$，$x = -15$，检验：$x = -15$代入$(x - 3)(x + 3) \neq 0$，$\therefore$原分式方程的解为：$x = -15$；
（2）去分母得：$x^{2}-4x + 4 + 4 = x^{2}-4$，解得：$x = 3$，经检验$x = 3$是分式方程的解。

17. (6分)已知$a= b+2018$,求代数式$\frac {2}{a-b}\cdot \frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}÷\frac {1}{a^{2}-b^{2}}$的值。

答案： 解：原式$=\frac{2}{a - b} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}$
$=\frac{2}{a - b} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} \cdot (a - b)(a + b)$
$=2(a - b)$
$\because a = b + 2018$
$\therefore a - b = 2018$
$\therefore$原式$=2×2018 = 4036$

18. (7分)某学生化简分式$\frac {1}{x+1}+\frac {2}{x^{2}-1}$出现了错误,解答过程如下：
原式$=\frac {1}{(x+1)(x-1)}+\frac {2}{(x+1)(x-1)}$(第一步)
$=\frac {1+2}{(x+1)(x-1)}$(第二步)
$=\frac {3}{x^{2}-1}$。(第三步)
(1)该学生解答过程是从第一步开始出错的,其错误原因是分式的基本性质用错；
(2)请写出此题正确的解答过程。
解：原式$=\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$。

答案： 解：（1）一、分式的基本性质用错；
（2）原式$=\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$。

19. (宜宾中考)(7分)用A、B两种机器人搬运大米,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米,A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等。求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米。

答案： 解：设$A$型机器人每小时搬大米$x$袋，则$B$型机器人每小时搬运$(x - 20)$袋，依题意得：$\frac{700}{x} = \frac{500}{x - 20}$，解这个方程得：$x = 70$，经检验$x = 70$是方程的解，所以$x - 20 = 50$。
答：$A$型机器人每小时搬70袋大米，$B$型机器人每小时搬运50袋大米。

20. (8分)某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略,促进经济发展,增强对外贸易的竞争力,把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%,行驶时间缩短了2h,求汽车原来的平均速度。

答案： 解：设汽车原来的平均速度是$x\mathrm{km/h}$，根据题意得：$\frac{420}{x} - \frac{420}{(1 + 50\%)x} = 2$，解得：$x = 70$，经检验：$x = 70$是原方程的解。
答：汽车原来的平均速度$70\mathrm{km/h}$。