《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

21. (9分)仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式$x^{2}-4x+m有一个因式是(x+3)$,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,得
$x^{2}-4x+m= (x+3)(x+n),$
则$x^{2}-4x+m= x^{2}+(n+3)x+3n,$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} n+3= -4\\ m= 3n\end{array} \right.$
解得:$n= -7,m= -21,$
∴另一个因式为$(x-7)$,m的值为-21.
问题:仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式$2x^{2}+3x-k有一个因式是(2x-5)$,求另一个因式以及k的值.

答案： 解: 设另一个因式为 $(x + a)$, 得 $2x^{2}+3x - k=(2x - 5)(x + a)$, 则 $2x^{2}+3x - k=2x^{2}+(2a - 5)x - 5a,\therefore \begin{cases}2a - 5 = 3\\-5a=-k\end{cases}$, 解得: $a = 4,k = 20$.
故另一个因式为 $(x + 4)$, $k$ 的值为 20.

22. (9分)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.

(1)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
(2)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形?(在图2虚线框内画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式$a^{2}+3ab+2b^{2}$分解因式.

答案：
解:
(1) 由题意得: $a + b = 17,a^{2}+b^{2}=169,\because (a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$,
$\therefore 289 = 169+2ab,\therefore ab = 60,\therefore$ 长方形②的面积为 60;
(2) 如图:

$\therefore a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + 2b)(a + b)$.

23. (重庆中考)(12分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如:自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6,4,7,4,6,从个位到最高位排出的一串数字也是:6,4,7,4,6,所以64746是“和谐数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设个位上的数字为$x(1≤x≤4$,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

答案： 解:
(1) 四位“和谐数”: 1221,1331,1111,6666;
任意一个四位“和谐数”都能被 11 整除, 理由如下:
设任意四位数“和谐数”形式为: $abba$ ($a$、$b$ 为自然数), 则 $a×10^{3}+b×10^{2}+b×10+a = 1001a+110b$,$\because \frac{1001a+110b}{11}=91a + 10b$,$\therefore$ 四位数“和谐数” $abba$ 能被 11 整除;
(2) 设能被 11 整除的三位“和谐数”为: $xyx$, 则 $x\cdot 10^{2}+y\cdot 10+x = 101x+10y$,$\frac{101x+10y}{11}=9x + y+\frac{2x - y}{11}$,$\because 1\leq x\leq4,101x + 10y$ 能被 11 整除,
$\therefore 2x - y = 0,\therefore y = 2x(1\leq x\leq4)$.