《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

15. (6分)分解因式:
(1)$-2m^{2}+8mn-8n^{2};$
(2)$a^{2}(x-1)+b^{2}(1-x);$
(3)$(m^{2}+n^{2})^{2}-4m^{2}n^{2}.$

答案： 解:
(1) $-2m^{2}+8mn - 8n^{2}=-2(m^{2}-4mn + 4n^{2})=-2(m - 2n)^{2}$;
(2) $a^{2}(x - 1)+b^{2}(1 - x)=(x - 1)(a^{2}-b^{2})=(x - 1)(a - b)(a + b)$;
(3) $(m^{2}+n^{2})^{2}-4m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2}+2mn)(m^{2}+n^{2}-2mn)=(m + n)^{2}(m - n)^{2}$.

16. (6分)已知$xy= -3$,满足$x+y= 2$,求代数式$x^{2}y+xy^{2}$的值.

答案： 解: $\because xy=-3$，$x + y = 2$，
$\therefore x^{2}y+xy^{2}=xy(x + y)$
$=-3×2$
$=-6$.

17. (6分)给出三个多项式:$a^{2}+3ab-2b^{2},b^{2}-3ab,ab+6b^{2}$,请任选两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.

答案： 解：选择多项式$a^{2}+3ab - 2b^{2}$和$b^{2}-3ab$进行加法运算：
$\begin{aligned}&(a^{2}+3ab - 2b^{2})+(b^{2}-3ab)\\=&a^{2}+3ab - 2b^{2}+b^{2}-3ab\\=&a^{2}-b^{2}\\=&(a + b)(a - b)\end{aligned}$
（或选择其他两个多项式，如：
选择$a^{2}+3ab - 2b^{2}$和$ab + 6b^{2}$：
$\begin{aligned}&(a^{2}+3ab - 2b^{2})+(ab + 6b^{2})\\=&a^{2}+3ab - 2b^{2}+ab + 6b^{2}\\=&a^{2}+4ab + 4b^{2}\\=&(a + 2b)^{2}\end{aligned}$
选择$b^{2}-3ab$和$ab + 6b^{2}$：
$\begin{aligned}&(b^{2}-3ab)+(ab + 6b^{2})\\=&b^{2}-3ab + ab + 6b^{2}\\=&7b^{2}-2ab\\=&b(7b - 2a)\end{aligned}$）

18. (7分)阅读下面的问题,然后回答,
分解因式:$x^{2}+2x-3.$
解:原式$=x^{2}+2x+1-1-3$
$=(x^{2}+2x+1)-4$
$=(x+1)^{2}-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1).$
上述因式分解的方法称为配方法.请体会配方法的特点,用配方法分解因式:
(1)$x^{2}-4x+3;$
(2)$4x^{2}+12x-7.$

答案： 解:
(1) $x^{2}-4x + 3=x^{2}-4x + 4-4 + 3=(x - 2)^{2}-1=(x - 2 + 1)(x - 2 - 1)=(x - 1)(x - 3)$.
(2) $4x^{2}+12x - 7=4x^{2}+12x + 9-9 - 7=(2x + 3)^{2}-16=(2x + 3 + 4)(2x + 3 - 4)=(2x + 7)(2x - 1)$.

19. (7分)下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x= y$
原式$=(y+2)(y+6)+4$ (第一步)
$=y^{2}+8y+16$ (第二步)
$=(y+4)^{2}$ (第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$ (第四步)
请问:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底?______不彻底(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.$(x-2)^{4}$
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)\cdot (x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.
解:设$x^{2}-2x=y$,原式$=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}$

答案： 解:
(1) $\because (x^{2}-4x + 4)^{2}=(x - 2)^{4}$,
∴ 该同学因式分解的结果不彻底.
(2) 设 $x^{2}-2x=y$, 原式 $=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}-2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$.

20. (8分)已知$a= 2015x+2014,b= 2015x+2015,c= 2015x+2016$.求$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$的值.

答案： 解: $\because a = 2015x+2014,b = 2015x+2015,c = 2015x+2016,\therefore a - b=-1,b - c=-1,a - c=-2$,
则原式 $=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ac)$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(1 + 1+4)=3$.