《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

1. 在实数范围内因式分解:$x^{2}-2= $$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

答案： $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

2. 若关于x的二次三项式$x^{2}+ax+\frac {1}{4}$是完全平方式,则a的值是$\pm 1$.

答案： $\pm 1$

3. 观察图形,根据图形面积的关系,不需要连其他的线,便可以得到一个用来分解因式的公式,这个公式是$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$.

答案： $a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$

4. 若实数x满足$x^{2}-2x-1= 0$,则$2x^{3}-7x^{2}+4x-2017= $-2020.

答案： $-2020$

5. 阅读理解:用“十字相乘法”分解因式$2x^{2}-x-3$的方法.
(1)二次项系数$2= 1×2;$
(2)常数项$-3= -1×3= 1×(-3)$,验算:“交叉相乘之和”;

$1×3+2×(-1)= 1,1×(-1)+2×3= 5,$
$1×(-3)+2×1= -1,1×1+2×(-3)= -5;$
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果$1×(-3)+2×1= -1$,等于一次项系数-1.
即:$(x+1)(2x-3)= 2x^{2}-3x+2x-3= 2x^{2}-x-3$,则$2x^{2}-x-3= (x+1)(2x-3).$
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:$3x^{2}+5x-12= $$(x + 3)(3x - 4)$.

答案： $(x + 3)(3x - 4)$

6. 已知a,b,c是三角形ABC的三边,且$b^{2}+2ab= c^{2}+2ac$,则三角形ABC的形状是等腰三角形.

答案： 等腰

7. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是(D)
A.$x^{2}+2x+3= (x+1)^{2}+2$
B.$(x+y)(x-y)= x^{2}-y^{2}$
C.$x^{2}-xy+y^{2}= (x-y)^{2}$
D.$2x-2y= 2(x-y)$

答案： D

8. 多项式$a^{2}-9与a^{2}-3a$的公因式是(B)
A.$a+3$
B.$a-3$
C.$a+1$
D.$a-1$

答案： B

9. 把$x^{2}-4x+c$分解因式得:$x^{2}-4x+c= (x-1)\cdot (x-3)$,则c的值为(A)
A.3
B.4
C.-3
D.-4

答案： A

10. 当a,b互为相反数时,代数式$a^{2}+ab-4$的值为(D)
A.4
B.0
C.-3
D.-4

答案： D

11. 小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:$a-b,x-y,x+y,a+b,x^{2}-y^{2},a^{2}-b^{2}$分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美,现将$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$因式分解,结果呈现的密码信息可能是(C)
A.我爱美
B.宜昌游
C.爱我宜昌
D.美我宜昌

答案： C

12. 已知a,b,c是三角形的三边,那么代数式$(a-b)^{2}-c^{2}$的值(B)
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定

答案： B

13. 设$681×2019-681×2018= a,2015×2016-2013×2018= b,\sqrt {678^{2}+1358+690+678}= c$,则a,b,c的大小关系是(A)
A.$b＜c＜a$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜b＜a$

答案： A

14. n是整数,式子$\frac {1}{8}[1-(-1)^{n}](n^{2}-1)$计算的结果(C)
A.是0
B.总是奇数
C.总是偶数
D.可能是奇数也可能是偶数

答案： C