《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

1. 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式。
注意：因式分解与整式乘法是互逆关系：
①整式乘法是把几个整式相乘,化为多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个最简因式的乘积。

答案： ①多项式 ②几个最简因式的乘积

2. 提公因式法
(1)公因式的定义
把多项式的各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的各项的公因式。
(2)提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
易错点：
①注意项的符号与幂指数是否搞错。
如：$-ab + ac = -a(b - c)$；$a^{3}b + ab^{3} = ab(a^{2} + b^{2})$。
②公因式是否提“干净”。
如：$3ab - 6a^{2} - 15ab^{2} = 3(ab - 2a^{2} - 5ab^{2}) = 3a(b - 2a - 5b^{2})$。
③多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉。
如：$ab + a = a(b + 1)$,$abc - ac + a^{2}bc^{3} = ac(b - 1 + abc^{2})$。
(3)找公因式的一般步骤
①若各项系数是整系数,取系数的最大公约数；
②取相同的字母,字母的指数取较低的；
③取相同的多项式,多项式的指数取较低的；
④所有这些因式的乘积即为公因式。

答案：
(1)相同因式
(3)②较低 ③较低 ④乘积

3. 公式法
(1)平方差公式：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$(a、b可以是单项式,也可以是多项式。)
注意：利用平方差公式分解因式的条件：多项式是两个因式的差,并且这两个因式都可以写成平方的形式；分解的结果是两个数或者整式的和与差的乘积。
(2)完全平方公式：$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$或$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$(等式左边是一个三项式；可以是单项式,也可以是多项式)。
注意：利用完全平方公式分解因式的条件：多项式是一个二次三项式,含有两个因式(或数)的平方和还有这两个因式(或数)的积的2倍或这两个因式(或数)的积的2倍的相反数。

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
(2)$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$