《2025年假期新思维八年级数学北师大版》

20. (广元中考)(8分)某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”,为某镇建中、小型两种图书室共30个.计划养殖类图书不超过2000本,种植类图书不超过1600本.已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本,种植类图书50本;组建一个小型图书室需养殖类图书30本,种植类图书60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请写出具体的组建方案;
(2)若组建一个中型图书室的费用是2000元,组建一个小型图书室的费用是1500元,哪种方案费用最低,最低费用是多少元?

答案： 解：
(1) 设组建中型图书室 $ x $ 个、小型图书室 $ (30 - x) $ 个。
由题意，得 $ \begin{cases} 80x + 30(30 - x) \leq 2000 \\ 50x + 60(30 - x) \leq 1600 \end{cases} $，化简得 $ \begin{cases} 5x \leq 110 \\ x \geq 20 \end{cases} $，
解这个不等式组，得 $ 20 \leq x \leq 22 $。
由于 $ x $ 只能取整数，
∴ $ x $ 的取值是 $ 20 $，$ 21 $，$ 22 $。
当 $ x = 20 $ 时，$ 30 - x = 10 $；当 $ x = 21 $ 时，$ 30 - x = 9 $；当 $ x = 22 $ 时，$ 30 - x = 8 $。
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室 $ 20 $ 个，小型图书室 $ 10 $ 个；
方案二，中型图书室 $ 21 $ 个，小型图书室 $ 9 $ 个；
方案三，中型图书室 $ 22 $ 个，小型图书室 $ 8 $ 个。
(2) 方案一的费用是：$ 2000 × 20 + 1500 × 10 = 55000 $（元）；
方案二的费用是：$ 2000 × 21 + 1500 × 9 = 55500 $（元）；
方案三的费用是：$ 2000 × 22 + 1500 × 8 = 56000 $（元）；
故方案一费用最低，最低费用是 $ 55000 $ 元。

21. (泸州中考)(9分)某中学为打造书香校园,计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书,调查发现,若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个,共需资金1020元;若购买甲种书柜4个,乙种书柜3个,共需资金1440元.
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元?
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个,其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量,学校至多能够提供资金4320元,请设计几种购买方案供这个学校选择.

答案： 解：
(1) 设甲种书柜单价为 $ x $ 元，乙种书柜的单价为 $ y $ 元，由题意得：
$ \begin{cases} 3x + 2y = 1020 \\ 4x + 3y = 1440 \end{cases} $，解之得：$ \begin{cases} x = 180 \\ y = 240 \end{cases} $，
答：设甲种书柜单价为 $ 180 $ 元，乙种书柜的单价为 $ 240 $ 元。
(2) 设甲种书柜购买 $ m $ 个，则乙种书柜购买 $ (20 - m) $ 个；
由题意得：$ \begin{cases} 20 - m \geq m \\ 180m + 240(20 - m) \leq 4320 \end{cases} $，
解之得：$ 8 \leq m \leq 10 $，
因为 $ m $ 取整数，所以 $ m $ 可以取的值为：$ 8 $，$ 9 $，$ 10 $。
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜 $ 8 $ 个，乙种书柜 $ 12 $ 个，
方案二：甲种书柜 $ 9 $ 个，乙种书柜 $ 11 $ 个，
方案三：甲种书柜 $ 10 $ 个，乙种书柜 $ 10 $ 个。

22. (9分)已知一元一次不等式$mx - 3 ＞ 2x + m$.
(1)若它的解集是$x ＜ \frac{m + 3}{m - 2}$,求m的取值范围;
(2)若它的解集是$x ＞ \frac{3}{4}$,试问:这样的m是否存在?如果存在,求出它的值;如果不存在,请说明理由.

答案： 解：
(1) 不等式 $ mx - 3 ＞ 2x + m $，移项合并得：$ (m - 2)x ＞ m + 3 $，由解集为 $ x ＜ \frac{m + 3}{m - 2} $ 得 $ m - 2 ＜ 0 $，即 $ m ＜ 2 $；
(2) 由解集为 $ x ＞ \frac{3}{4} $，得到 $ m - 2 ＞ 0 $，即 $ m ＞ 2 $，且 $ \frac{m + 3}{m - 2} = \frac{3}{4} $，
解得：$ m = -18 ＜ 0 $，不合题意，则这样的 $ m $ 值不存在。

23. (12分)对x,y定义一种新运算T,规定:$T(x,y) = \frac{ax + by}{x + y}$(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:$T(0,1) = \frac{a0 + b1}{0 + 1} = b$,已知$T(1,1) = 2.5$,$T(4,-2) = 4$.
(1)求a,b的值;
(2)若关于m的不等式组$\begin{cases}T(4m,5 - 4m) \leq 3\\T(2m,3 - 2m) ＞ p\end{cases} $恰好有2个整数解,求实数p的取值范围.

答案： 解：
(1) 根据题意得：$ \begin{cases} a + b = 5 ① \\ 2a - b = 4 ② \end{cases} $，① + ②得：$ 3a = 9 $，即 $ a = 3 $，
把 $ a = 3 $ 代入①得：$ b = 2 $，故 $ a $，$ b $ 的值分别为 $ 3 $ 和 $ 2 $；
(2) 根据题意得：$ \begin{cases} \frac{12m + 10 - 8m}{5} \leq 3 ① \\ \frac{6m + 6 - 4m}{3} ＞ p ② \end{cases} $
由①得：$ m \leq \frac{5}{4} $，由②得：$ m ＞ \frac{3}{2}p - 3 $。
∵不等式组恰好有 $ 2 $ 个整数解，即 $ m = 0 $，$ 1 $，
∴ $ -1 \leq \frac{3}{2}p - 3 ＜ 0 $，解得 $ \frac{4}{3} \leq p ＜ 2 $，即实数 $ p $ 的取值范围是 $ \frac{4}{3} \leq p ＜ 2 $。