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7. 若一个角的补角是它的余角的 3 倍,要求这个角的度数时,我们可以用方程思想去解决. 设这个角的度数为 $ x^{\circ} $,可得一元一次方程( )
A.$ x^{\circ}-180^{\circ}=3(x^{\circ}-90^{\circ}) $
B.$ 90^{\circ}-x^{\circ}=3(180^{\circ}-x^{\circ}) $
C.$ 180^{\circ}-x^{\circ}=3(90^{\circ}-x^{\circ}) $
D.$ x^{\circ}-90^{\circ}=3(x^{\circ}-180^{\circ}) $
A.$ x^{\circ}-180^{\circ}=3(x^{\circ}-90^{\circ}) $
B.$ 90^{\circ}-x^{\circ}=3(180^{\circ}-x^{\circ}) $
C.$ 180^{\circ}-x^{\circ}=3(90^{\circ}-x^{\circ}) $
D.$ x^{\circ}-90^{\circ}=3(x^{\circ}-180^{\circ}) $
答案：
C 解析 设这个角的度数为$x^{\circ}$，则这个角的余角的度数为$(90^{\circ}-x^{\circ})$，这个角的补角的度数为$(180^{\circ}-x^{\circ})$，由题意，得$180^{\circ}-x^{\circ}=3(90^{\circ}-x^{\circ})$，故选C.
8. 如图,在直线 $ PQ $ 上找一点 $ C $,且使 $ PC = 3CQ $,则点 $ C $ 应( )
A.在点 $ P $,$ Q $ 之间
B.在点 $ P $ 左边
C.在点 $ Q $ 右边
D.在点 $ P $,$ Q $ 之间或在点 $ Q $ 右边
A.在点 $ P $,$ Q $ 之间
B.在点 $ P $ 左边
C.在点 $ Q $ 右边
D.在点 $ P $,$ Q $ 之间或在点 $ Q $ 右边
答案：
D 解析 如图，
由图可知，当点C在点P的左边时，$C_{3}Q＞PC_{3}$，不满足题意. 当点C在点P，Q之间时，存在点$C_{1}$，满足$PC_{1}=3C_{1}Q$. 当点C在点Q右边时，存在点$C_{2}$，满足$PC_{2}=3C_{2}Q$. 综上所述，点C在点P，Q之间或在点Q右边.
D 解析 如图，
由图可知，当点C在点P的左边时，$C_{3}Q＞PC_{3}$，不满足题意. 当点C在点P，Q之间时，存在点$C_{1}$，满足$PC_{1}=3C_{1}Q$. 当点C在点Q右边时，存在点$C_{2}$，满足$PC_{2}=3C_{2}Q$. 综上所述，点C在点P，Q之间或在点Q右边. 9. 下列度、分、秒运算中,正确的是( )
A.$ 48^{\circ}39'+67^{\circ}31' = 115^{\circ}10' $
B.$ 90^{\circ}-70^{\circ}39' = 20^{\circ}21' $
C.$ 21^{\circ}17'×5 = 185^{\circ}5' $
D.$ 180^{\circ}÷7\approx25^{\circ}43' $(精确到分)
A.$ 48^{\circ}39'+67^{\circ}31' = 115^{\circ}10' $
B.$ 90^{\circ}-70^{\circ}39' = 20^{\circ}21' $
C.$ 21^{\circ}17'×5 = 185^{\circ}5' $
D.$ 180^{\circ}÷7\approx25^{\circ}43' $(精确到分)
答案：
D 解析 $48^{\circ}39'+67^{\circ}31'=115^{\circ}70'=116^{\circ}10'$，故A选项错误；$90^{\circ}-70^{\circ}39'=19^{\circ}21'$，故B选项错误；$21^{\circ}17'×5=105^{\circ}85'=106^{\circ}25'$，故C选项错误；$180^{\circ}÷7\approx25^{\circ}43'$（精确到分），故D选项正确.
10. 如图,在 $ O $ 点的观测站测得渔船 $ A $ 位于东北方向,渔船 $ B $ 位于南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向,为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益,渔船 $ C $ 恰好位于 $ \angle AOB $ 的平分线上,则渔船 $ C $ 相对观测站 $ O $ 的方向为( )
A.南偏东 $ 52.5^{\circ} $
B.南偏东 $ 37.5^{\circ} $
C.南偏东 $ 53.5^{\circ} $
D.南偏东 $ 82.5^{\circ} $
A.南偏东 $ 52.5^{\circ} $
B.南偏东 $ 37.5^{\circ} $
C.南偏东 $ 53.5^{\circ} $
D.南偏东 $ 82.5^{\circ} $
答案：
A 解析 根据题意，可得$\angle AOB=180^{\circ}-45^{\circ}+30^{\circ}=165^{\circ}$. 因为OC平分$\angle AOB$，所以$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=82.5^{\circ}$. 所以$82.5^{\circ}-30^{\circ}=52.5^{\circ}$. 可得渔船C位于观测站O的南偏东$52.5^{\circ}$方向上. 故选A.
11. $ 20.5^{\circ} = $______$ ^{\circ} $______$ ' $.
答案：
20 30
12. 如图,$ A $,$ B $,$ C $ 三点共线,$ BD $ 是 $ \angle ABE $ 的平分线,$ BF $ 是 $ \angle EBC $ 的平分线. 已知 $ \angle ABD = 28^{\circ}32' $,则 $ \angle FBC = $______.
答案：
$61^{\circ}28'$ 解析 因为$\angle ABD = 28^{\circ}32'$，BD是$\angle ABE$的平分线，所以$\angle ABE = 2\angle ABD = 57^{\circ}4'$. 由补角的性质，可得$\angle EBC = 122^{\circ}56'$. 因为BF是$\angle EBC$的平分线，所以$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle EBC = 61^{\circ}28'$.
13. 如图,$ AB = 20 $,点 $ C $,$ D $,$ E $ 在 $ AB $ 上,且 $ CD = 4 $,$ AE = \frac{1}{3}AC $,则 $ 2BE + ED = $______.
答案：
44 解析 设$AC = 3x$，则$AE=\frac{1}{3}AC=x$. 因为$AB = 20$，$CD = 4$，所以$BD=AB-CD-AC=20 - 4 - 3x=16 - 3x$，$BE=AB-AE=20 - x$，所以$ED=AB-AE-DB=20 - x-(16 - 3x)=2x + 4$，所以$2BE + ED=2(20 - x)+(2x + 4)=44$.
14. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,测量得 $ \angle AOB $ 是 $ \angle COD $ 的 4 倍,那么 $ \angle 1 $ 的大小为______$ ^{\circ} $.
答案：
54 解析 由题意，知$\angle AOD = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，所以$\angle1+\angle COD=90^{\circ}$，$\angle2+\angle COD = 90^{\circ}$. 所以$\angle1=\angle2$，且$\angle COD=90^{\circ}-\angle1$，$\angle AOB=90^{\circ}+\angle1$. 因为$\angle AOB = 4\angle COD$，$90^{\circ}+\angle1=4(90^{\circ}-\angle1)$，$90^{\circ}+\angle1=360^{\circ}-4\angle1$，$5\angle1=270^{\circ}$，$\angle1 = 54^{\circ}$. 故$\angle1$的度数为$54^{\circ}$.
15. 如图,在直线 $ AB $ 上有一点 $ C $,$ AC = \frac{1}{3}BC = 20 cm $. 有两只蚂蚁分别以 $ 2 cm/s $、$ 1 cm/s $ 的速度从 $ A $,$ C $ 两点同时出发向 $ B $ 方向运动,经过______$ s $,两只蚂蚁与点 $ C $ 的距离相等.
答案：
$\frac{20}{3}$或20 解析 设经过t s两只蚂蚁与点C的距离相等，若此时两只蚂蚁在点C两侧，则$20-2t=t$，解得$t=\frac{20}{3}$. 若此时两只蚂蚁在点C右侧，则$20 + t=2t$，解得$t = 20$，所以经过$\frac{20}{3}$s或20 s，两只蚂蚁与点C的距离相等.
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