《2025年小学生学习指导丛书六年级数学上册人教版》

1. 填一填。
一项工作，由一个人单独做，甲要 12 小时，乙要 10 小时。
（1）单独做，甲每小时能完成这项工作的$\frac{( )}{( )}$，乙每小时能完成这项工作的$\frac{( )}{( )}$。
（2）甲、乙两人合作，每小时能完成这项工作的$\frac{( )}{( )}$，（ ）小时能完成这项工作。

答案： （1）$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{10}$；（2）$\frac{11}{60}$，$\frac{60}{11}$

2. 一项工程，由甲队单独修建，需要 20 天；由乙队单独修建，需要 30 天。两队合修多少天就能完成？

答案： 把这项工程的工作量看作单位“1”。
根据$工作效率 = \frac{1}{工作时间}$，甲队单独修建需要$20$天，则甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$；乙队单独修建需要$30$天，则乙队的工作效率为$\frac{1}{30}$。
两队合作的工作效率为甲队工作效率与乙队工作效率之和，即$\frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
$=\frac{3}{60} + \frac{2}{60}$
$=\frac{5}{60}$
$=\frac{1}{12}$。
再根据$工作时间 = \frac{工作量}{工作效率}$，可得两队合修完成这项工程需要的时间为：$1÷\frac{1}{12} = 1×12 = 12$（天）。
综上，两队合修$12$天就能完成。

3. 有 60 t 货物，由甲车单独运需要 10 次运完，由乙车单独运需要 15 次运完。用两车同时运，多少次可以运完？（用两种方法解答）

答案： 答题卡：
方法一：
单次运货量：
甲车：$60÷10 = 6$（$t$），
乙车：$60÷15 = 4$（$t$），
两车同时运，每次运货量：
$6 + 4 = 10$（$t$），
运完次数：
$60÷10 = 6$（次），
方法二：
假设货物总量为单位“1”。
甲车每次运：$1÷10=\frac{1}{10}$，
乙车每次运：$1÷15 = \frac{1}{15}$，
两车同时运，每次运：
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$
$=\frac{3}{30} + \frac{2}{30}$
$=\frac{5}{30}$
$=\frac{1}{6}$
运完次数：
$1÷\frac{1}{6}=1×6 = 6$（次），
答：用两车同时运，6次可以运完。

4. 录入一份稿件，甲需要 10 小时完成，乙每小时能完成这份稿件的$\frac{3}{20}$。甲、乙两人合作完成这份稿件需要几小时？

答案： 甲的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
甲、乙合作的工作效率：$\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{2}{20}+\frac{3}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$
合作完成所需时间：$1÷\frac{1}{4}=4$（小时）
答：甲、乙两人合作完成这份稿件需要4小时。

5. 一列快车和一列慢车同时从甲、乙两地相对开出，5 小时后相遇。如果慢车从乙地到甲地要行 15 小时，那么快车从甲地到乙地要行多少小时？

答案： 设快车从甲地到乙地要行 $x$ 小时。
把甲乙两地的距离看作单位“$1$”。
根据工作效率=工作总量$÷$工作时间，可得：
快车每小时行驶全程的$\frac{1}{x}$；
慢车每小时行驶全程的$\frac{1}{15}$。
根据题意，两车$5$小时后相遇，即两车$5$小时行驶的总路程为$1$，可列出方程：
$5(\frac{1}{x}+\frac{1}{15}) = 1$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{15}=\frac{1}{5}$
$\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{1}{15}$
$\frac{1}{x}=\frac{2}{15}$
解得：
$x = 7.5$
综上，快车从甲地到乙地要行$7.5$小时。

A、B 两地相距 360 km，一辆汽车从 A 地开往 B 地，2 小时行了全程的$\frac{1}{3}$。照这样的速度，它到达 B 地还要再行几小时？（你能用两种方法解答吗？试一试）

答案： 解法一:$2÷ \frac {1}{3}-2=4$(小时)
解法二:$360÷ (360× \frac {1}{3}÷ 2)-2=360÷ 60-2$
$=4$(小时)
解法三:$(360-360× \frac {1}{3})÷ (360× \frac {1}{3}÷ 2)=240÷ 60$
$=4$(小时)
解法四:$1÷ (\frac {1}{3}÷ 2)-2=1÷ \frac {1}{6}-2=4$(小时)
解法五:$1÷ \frac {1}{3}× 2-2=4$(小时)
解法六:$(1-\frac {1}{3})÷ (\frac {1}{3}÷ 2)=\frac {2}{3}÷ \frac {1}{6}=4$(小时)