《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

14. 如图,在四边形 ABCD 中,已知$AB:BC:CD:DA= 2:2:3:1$,且$∠B= 90^{\circ }$,试求$∠DAB$的度数.

135°

答案： 连接$AC$。$\because AB:BC:CD:DA = 2:2:3:1$，
$\therefore$设$AB = 2x$，则$BC = 2x$，$CD = 3x$，$DA = x$。
在$Rt\triangle ACB$中，由$AB = BC$，得$∠BAC = 45^{\circ}$，
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(2x)^{2}+(2x)^{2}=8x^{2}$，
$\therefore AD^{2}+AC^{2}=x^{2}+8x^{2}=9x^{2}$。
又$\because DC^{2}=(3x)^{2}=9x^{2}$，$\therefore DC^{2}=AD^{2}+AC^{2}$。
$\therefore ∠DAC = 90^{\circ}$。$\therefore ∠DAB = ∠DAC + ∠BAC = 90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。

15. 已知 a、b、c 为$△ABC$的三边长,且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}= a^{4}-b^{4}$,试判断$△ABC$的形状.

答案： $\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$。
当$a^{2}-b^{2}\neq0$时，得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，$\triangle ABC$为直角三角形。
当$a^{2}-b^{2}=0$时，则$(a + b)(a - b)=0$，$\because a\gt0$，$b\gt0$，$\therefore a + b\gt0$，
则$a - b = 0$，即$a = b$，$\therefore\triangle ABC$为等腰三角形。
综上所述，$\triangle ABC$为直角三角形或等腰三角形。

16. 如图,南北方向线 MN 以西为我国领海,以东为公海.上午 9 时 50 分,我缉私艇 A 发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海驶来,便立即通知正在 MN 线上巡逻的缉私艇 B.已知 A,C 两艇的距离是 13 海里,A,B 两艇的距离是 5 海里,缉私艇 B 与 C 艇的距离是 12 海里,若 C 艇的速度不变,那么它最早会在什么时间进入我国领海?
设直线$MN$与$AC$交于点$E$，则$∠BEC = 90^{\circ}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AC^{2}=13^{2}=169$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$∠ABC = 90^{\circ}$。因为$MN⊥CE$，所以$C$艇进入我国领海的最近距离是线段$CE$的长。$CE^{2}+BE^{2}=144$，
$(13 - CE)^{2}+BE^{2}=25$，由此得$26CE = 288$，$CE=\frac{144}{13}$。因为$C$艇的速度是 13 海里/时，所以$\frac{144}{13}÷13=\frac{144}{169}\approx0.85$（小时）$= 51$（分）。
9时50分$+ 51$分$= $10时41分。
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海。

答案： 设直线$MN$与$AC$交于点$E$，则$∠BEC = 90^{\circ}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AC^{2}=13^{2}=169$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$∠ABC = 90^{\circ}$。因为$MN⊥CE$，所以$C$艇进入我国领海的最近距离是线段$CE$的长。$CE^{2}+BE^{2}=144$，
$(13 - CE)^{2}+BE^{2}=25$，由此得$26CE = 288$，$CE=\frac{144}{13}$。因为$C$艇的速度是$13$海里/时，所以$\frac{144}{13}÷13=\frac{144}{169}\approx0.85$（小时）$= 51$（分）。
9时50分$+ 51$分$= 10$时41分。
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海。