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2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
14. 如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$M为BC$的中点,$MD⊥AB于点D$,求证：$AD^{2}= AC^{2}+BD^{2}$.
连接 $ M A $ (图略)，
∵ $ M D \perp A B $，$ \therefore A D ^ { 2 } = A M ^ { 2 } - M D ^ { 2 } $，$ M D ^ { 2 } = B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } $，
∵ $ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A M ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } $，
∵ $ M $ 为 $ B C $ 的中点，$ \therefore B M = M C $，
$ \therefore A D ^ { 2 } = ( A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } ) - ( B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } ) = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } - B M ^ { 2 } + B D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $，即 $ A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $。
连接 $ M A $ (图略)，
∵ $ M D \perp A B $，$ \therefore A D ^ { 2 } = A M ^ { 2 } - M D ^ { 2 } $，$ M D ^ { 2 } = B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } $，
∵ $ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A M ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } $，
∵ $ M $ 为 $ B C $ 的中点，$ \therefore B M = M C $，
$ \therefore A D ^ { 2 } = ( A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } ) - ( B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } ) = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } - B M ^ { 2 } + B D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $，即 $ A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $。
答案：
连接 $ M A $ (图略)，
∵ $ M D \perp A B $，$ \therefore A D ^ { 2 } = A M ^ { 2 } - M D ^ { 2 } $，$ M D ^ { 2 } = B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } $，
∵ $ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A M ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } $，
∵ $ M $ 为 $ B C $ 的中点，$ \therefore B M = M C $，
$ \therefore A D ^ { 2 } = ( A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } ) - ( B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } ) = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } - B M ^ { 2 } + B D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $，即 $ A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $。
∵ $ M D \perp A B $，$ \therefore A D ^ { 2 } = A M ^ { 2 } - M D ^ { 2 } $，$ M D ^ { 2 } = B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } $，
∵ $ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A M ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } $，
∵ $ M $ 为 $ B C $ 的中点，$ \therefore B M = M C $，
$ \therefore A D ^ { 2 } = ( A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } ) - ( B M ^ { 2 } - B D ^ { 2 } ) = A C ^ { 2 } + C M ^ { 2 } - B M ^ { 2 } + B D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $，即 $ A D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $。
15. 如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在$A处测得灯塔C在北偏西30^{\circ }$方向上,轮船航行2 h后,到达$B$处,在$B处测得灯塔C在北偏西60^{\circ }$方向上,当轮船到达灯塔$C的正东方向的D$处时,求轮船与灯塔$C$的距离.(结果保留一位小数)
解：$ \because \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle E A C = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C B = \angle D B C - \angle B A C = 60 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore B A = B C $。$ \because B A = 20 × 2 = 40 $ (海里)，$ \therefore B C = 40 $ 海里。
在 $ R t \triangle D C B $ 中，$ \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle C D B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore D B = \frac { 1 } { 2 } B C = \frac { 1 } { 2 } × 40 = 20 $ (海里)。
在 $ R t \triangle D B C $ 中，由勾股定理，得 $ D C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } $，
$ \therefore D C = \sqrt { B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } } = \sqrt { 40 ^ { 2 } - 20 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 200 } \approx $
答：轮船与灯塔$C$的距离约为
解：$ \because \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle E A C = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C B = \angle D B C - \angle B A C = 60 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore B A = B C $。$ \because B A = 20 × 2 = 40 $ (海里)，$ \therefore B C = 40 $ 海里。
在 $ R t \triangle D C B $ 中，$ \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle C D B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore D B = \frac { 1 } { 2 } B C = \frac { 1 } { 2 } × 40 = 20 $ (海里)。
在 $ R t \triangle D B C $ 中，由勾股定理，得 $ D C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } $，
$ \therefore D C = \sqrt { B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } } = \sqrt { 40 ^ { 2 } - 20 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 200 } \approx $
34.6
(海里)。答：轮船与灯塔$C$的距离约为
34.6
海里。
答案：
$ \because \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle E A C = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C B = \angle D B C - \angle B A C = 60 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore B A = B C $。$ \because B A = 20 × 2 = 40 $ (海里)，$ \therefore B C = 40 $ 海里。
在 $ R t \triangle D C B $ 中，$ \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle C D B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore D B = \frac { 1 } { 2 } B C = \frac { 1 } { 2 } × 40 = 20 $ (海里)。
在 $ R t \triangle D B C $ 中，由勾股定理，得 $ D C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } $，
$ \therefore D C = \sqrt { B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } } = \sqrt { 40 ^ { 2 } - 20 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 200 } \approx 34.6 $ (海里)。
$ \therefore \angle A C B = \angle D B C - \angle B A C = 60 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore B A = B C $。$ \because B A = 20 × 2 = 40 $ (海里)，$ \therefore B C = 40 $ 海里。
在 $ R t \triangle D C B $ 中，$ \angle D B C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle C D B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore D B = \frac { 1 } { 2 } B C = \frac { 1 } { 2 } × 40 = 20 $ (海里)。
在 $ R t \triangle D B C $ 中，由勾股定理，得 $ D C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } $，
$ \therefore D C = \sqrt { B C ^ { 2 } - D B ^ { 2 } } = \sqrt { 40 ^ { 2 } - 20 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 200 } \approx 34.6 $ (海里)。
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