《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

7. 某市市政府计划两年后实现财政收入翻一番,若第二年的增长率为第一年的2倍,那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后财政收入翻一番的目标？

答案： 设第一年的增长率为x，则第二年的增长率为2x。设原财政收入为a元，则翻一番后财政收入为2a元。
由题意得$a(1+x)(1+2x)=2a$，化简得$2x^{2}+3x - 1 = 0$。
$\therefore \Delta = 3^{2} - 4×2×(-1) = 17$。
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\approx 0.281 = 28.1\%$，
$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}\approx - 1.78$（舍去）。
答：第一年的增长率约为28.1%时，可实现两年后财政收入翻一番的目标。

8. 某商场将进货价为30元的台灯按40元出售,平均每月能售出600盏。调查表明,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量减少10盏。为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？

答案： 设这种台灯的售价为x元/盏。
由题意，得$(x - 30)[600 - 10(x - 40)] = 10000$，解得$x_{1}=50$，$x_{2}=80$。当$x = 50$时，$600 - 10(x - 40) = 500$，当$x = 80$时，$600 - 10(x - 40) = 200$。
答：当售价定为50元/盏时，应进台灯500盏；当售价定为80元/盏时，应进台灯200盏。

9. 某单位在“三八”妇女节期间组织女职工到“兴隆山”进行了观光旅游。下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话：
领队：组团去“兴隆山”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元。
领队：超过25人怎么优惠呢？
导游：如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元。
该单位按旅行社的收费标准组团游览“兴隆山”结束后,共支付给旅行社2700元。请你根据上述信息,求出该单位这次到“兴隆山”观光旅游的人数。

答案： 因为$25×100 = 2500＜2700$，所以旅游的人数超过25。
设该单位这次到“兴隆山”观光旅游的共有x人，
则平均每人的费用为$[100 - 2(x - 25)]$元，
根据题意，得$x[100 - 2(x - 25)] = 2700$，
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=45$。又因为人均费用不低于70元，
所以$100 - 2(x - 25)\geq70$。解不等式得$x\leq40$，
所以$x = 45$不符合题意，舍去，故$x = 30$。
答：该单位这次到“兴隆山”观光旅游的共有30人。

一元二次方程的几何解法
你知道吗,对于一元二次方程,我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！
下面以方程 $ x^2 + 2x - 35 = 0 $ 即 $ x(x + 2) = 35 $ 为例加以说明。
三国时期的数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图甲,一方面,图中大正方形的面积是 $ (x + x + 2)^2 $；另一方面,它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即 $ 4×35 + 2^2 $。据此易得 $ x = 5 $。

公元9世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图乙,一方面,正方形的面积为 $ (x + 1)^2 $；另一方面,它又等于 $ 35 + 1 $。据此同样可得 $ x = 5 $。想一想,图甲与图乙有什么区别和联系？图乙的方法与配方法又有什么联系？这样做,只得到了方程的一个根,为什么？
区别：图甲是由4个长方形和1个小正方形组成一个大正方形，长方形的长为$x + 2$，宽为$x$，小正方形边长为$2$，通过大正方形面积的两种不同计算方式来求解方程；图乙是将原方程进行变形后，构造一个边长为$x + 1$的大正方形，大正方形面积等于一个边长为$1$的小正方形面积与四个长为$x$、宽为$1$的长方形面积之和再加上$35$来求解方程
联系：二者都是通过构造图形，利用图形面积的等量关系来求解一元二次方程；都体现了数形结合的思想
图乙方法与配方法的联系：图乙中构造边长为$x + 1$的正方形，其面积表达式$(x + 1)^2=35 + 1$，这与配方法中将方程$x^2+2x - 35 = 0$通过配方得到$(x + 1)^2=35 + 1$的过程是一致的，都是通过添加一次项系数一半的平方来完成变形，从而求解方程
只得到一个根的原因：在图甲中，从几何图形构造和面积关系出发，通过计算得到$x = 5$，因为在构造图形和面积等式时，是基于一种特定的、符合几何直观的推理，这种推理方式在几何图形的限制下，只给出了满足面积等式的正数解$x = 5$，忽略了方程可能存在的负数解。在图乙中，同样基于构造的正方形面积关系得到$(x + 1)^2=36$，开平方后得到$x+1 = 6$（取正数情况，因为几何图形中边长为正），从而得出$x = 5$，也是由于几何图形的直观性和面积的非负性等因素，只得到了正数解，忽略了负数解$x=-7$（因为$(-7 + 1)^2=36$也满足等式）

答案： 【解析】：
区别：
图甲是由4个长方形和1个小正方形组成一个大正方形，长方形的长为$x + 2$，宽为$x$，小正方形边长为$2$，通过大正方形面积的两种不同计算方式来求解方程；
图乙是将原方程进行变形后，构造一个边长为$x + 1$的大正方形，大正方形面积等于一个边长为$1$的小正方形面积与四个长为$x$、宽为$1$的长方形面积之和再加上$35$来求解方程。
联系：
二者都是通过构造图形，利用图形面积的等量关系来求解一元二次方程；都体现了数形结合的思想。
图乙方法与配方法的联系：
图乙中构造边长为$x + 1$的正方形，其面积表达式$(x + 1)^2=35 + 1$，这与配方法中将方程$x^2+2x - 35 = 0$通过配方得到$(x + 1)^2=35 + 1$的过程是一致的，都是通过添加一次项系数一半的平方来完成变形，从而求解方程。
只得到一个根的原因：
在图甲中，从几何图形构造和面积关系出发，通过计算得到$x = 5$，因为在构造图形和面积等式时，是基于一种特定的、符合几何直观的推理，这种推理方式在几何图形的限制下，只给出了满足面积等式的正数解$x = 5$，忽略了方程可能存在的负数解。
在图乙中，同样基于构造的正方形面积关系得到$(x + 1)^2=36$，开平方后得到$x+1 = 6$（取正数情况，因为几何图形中边长为正），从而得出$x = 5$，也是由于几何图形的直观性和面积的非负性等因素，只得到了正数解，忽略了负数解$x=-7$（因为$(-7 + 1)^2=36$也满足等式）。
【答案】：
区别：图甲由$4$个长方形和$1$个小正方形组成大正方形，图乙构造边长为$x + 1$的大正方形；联系：都通过构造图形利用面积等量关系求解方程，体现数形结合思想；图乙方法与配方法联系是都通过添加一次项系数一半的平方变形求解；只得到一个根是因为几何图形构造和面积关系的直观性及非负性等因素，忽略了方程的负数解。