《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

3. 下列关于$x$的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是(D)
A.$x^{2}+4 = 0$
B.$x^{2}-4x + 6 = 0$
C.$x^{2}+x + 3 = 0$
D.$x^{2}+2x - 1 = 0$

答案： D

4. 用公式法解方程$x^{2}+x - 1 = 0$的根是(D)
A.$1-\sqrt{5}$
B.$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
C.$-1+\sqrt{5}$
D.$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

答案： D

5. 方程$(x - 2)(x + 3)= 0$的解是(D)
A.$x = 2$
B.$x = - 3$
C.$x_{1}= -2$,$x_{2}= 3$
D.$x_{1}= 2$,$x_{2}= -3$

答案： D

6. 若$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-3x = 0$的两根,则$x_{1}+x_{2}$的值是(C)
A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$1$

答案： C

7. 一元二次方程$(x - 1)^{2}= 4$的解为$ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-1 $.

答案： $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-1 $

8. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+2x - k = 0$没有实数根,则$k$的取值范围是$ k＜-1 $.

答案： $ k＜-1 $

9. 若等腰三角形的边长是方程$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$的两根,则它的周长为$ 3\sqrt{2}+1 $.

答案： $ 3\sqrt{2}+1 $

10. 已知一元二次方程$x^{2}-5x - 6 = 0的两个根分别为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$37.

答案： 37

11. 解方程.
(1)$(3x + 1)^{2}-4 = 0$;$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$
(2)$2y^{2}+4(y - 1)= 0$;$y_{1}=\sqrt{3}-1$，$y_{2}=-\sqrt{3}-1$
(3)$2x^{2}+34x - 1 = 0$;$x_{1}=\frac{-17+\sqrt{291}}{2}$，$x_{2}=\frac{-17-\sqrt{291}}{2}$
(4)$x^{2}-5x + 6 = 0$.$x_{1}=2$，$x_{2}=3$

答案：
(1) $ (3x+1)^{2}-4=0 $，
$ (3x+1)^{2}=4 $，
$ 3x+1=2 $，
当 $ 3x+1=2 $ 时，$ x_{1}=\frac{1}{3} $，
当 $ 3x+1=-2 $ 时，$ x_{2}=-1 $。
(2) $ 2y^{2}+4(y-1)=0 $，
$ 2(y+1)^{2}=6 $，
$ y+1=\pm\sqrt{3} $，
$ y_{1}=\sqrt{3}-1 $，
$ y_{2}=-\sqrt{3}-1 $。
(3) $ 2x^{2}+34x-1=0 $ 的二次项系数 $ a=2 $，一次项系数 $ b=34 $，常数项 $ c=-1 $。
∴ 由求根公式 $ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 得
$ x=\frac{-34\pm\sqrt{34^{2}+8}}{4}=\frac{-17\pm\sqrt{291}}{2} $
∴ $ x_{1}=\frac{-17+\sqrt{291}}{2} $，$ x_{2}=\frac{-17-\sqrt{291}}{2} $。
(4) $ x^{2}-5x+6=0 $，
$ (x-2)(x-3)=0 $，
解得 $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=3 $。

12. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 1)\cdot x + m - 1 = 0$.
求证:不论$m$取何值时,方程总有两个不相等的实数根.

答案：
∵ $ \Delta =b^{2}-4ac=[-(m+1)]^{2}-4(m-1)=m^{2}-2m+5=(m-1)^{2}+4＞0 $，
∴ 不论 $ m $ 取何值时，方程总有两个不相等的实数根。