《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

35. (6分)如图,正方形$A B C D的对角线相交于点O$,点$O也是正方形A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } O$的一个顶点,两个正方形的边长都等于1,当正方形$A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } O绕顶点O$转动时,两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律? 并说明理由.

两个正方形重叠部分的面积大小规律是：两个正方形重叠部分的面积始终等于$\frac{1}{4}$。

答案： 【解析】：
首先分析两个正方形的重叠部分：
设两个正方形重叠的部分为四边形$OEBF$。
由于正方形的对角线互相垂直且平分，
所以$\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$，且$OA = OB$。
又因为$\angle A'OE + \angle EOB = 90^\circ$，$\angle BOF + \angle EOB = 90^\circ$，
所以$\angle A'OE = \angle BOF$。
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中，
$\begin{cases}\angle OAE = \angle OBF = 45^\circ, \\OA = OB, \\\angle A'OE = \angle BOF.\end{cases}$
根据角边角(ASA)判定定理，
可得$\triangle OAE \cong \triangle OBF$，
所以$S_{\triangle OAE} = S_{\triangle OBF}$。
因此，四边形$OEBF$的面积$S_{OEBF} = S_{\triangle OEB} + S_{\triangle OBF} = S_{\triangle OEB} + S_{\triangle OAE} = S_{\triangle AOB}$。
由于正方形的边长为1，
所以$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × 1 × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{4} × 1 = \frac{1}{4}$（正方形面积的四分之一），
即$S_{OEBF} = \frac{1}{4}$。
由于这个结论不依赖于正方形$A'B'C'O$的旋转位置，
所以两个正方形重叠部分的面积始终等于$\frac{1}{4}$。
【答案】：
两个正方形重叠部分的面积始终等于$\frac{1}{4}$。

36. (6分) 如图, 在$\mathrm { Rt } \triangle A B C$中,$\angle A B C = 90 ^ { \circ }$, 将$\mathrm { Rt } \triangle A B C绕点C顺时针方向旋转60 ^ { \circ }得到\triangle D E C$,点$E在A C$上,连接$A D$,连接$BE并延长交A D于G$,连接$C G$,请问:四边形$A B C G$是什么特殊四边形? 为什么?
四边形ABCG是矩形. 理由:∵$Rt\triangle DEC$是由$Rt\triangle ABC$绕点C顺时针旋转$60^{\circ }$得到的,$\therefore AC=DC,∠ACB=∠ACD=60^{\circ }$.$\therefore \triangle ACD$是等边三角形,$\therefore ∠DAC=60^{\circ }.\because AG// BC,\therefore ∠AGE=∠EBC$.$\because DE⊥AC$于E,$\therefore AE=EC,\because ∠AEG=∠CEB,\therefore \triangle AEG\cong \triangle CEB(AAS),\therefore AG=BC$. ∴四边形ABCG是平行四边形,$\because ∠ABC=90^{\circ }$,∴四边形ABCG是矩形.

答案： 36. 四边形ABCG是矩形. 理由:
∵$Rt\triangle DEC$是由$Rt\triangle ABC$绕点C顺时针旋转$60^{\circ }$得到的,$\therefore AC=DC,∠ACB=∠ACD=60^{\circ }$.$\therefore \triangle ACD$是等边三角形,$\therefore ∠DAC=60^{\circ }.\because AG\parallel BC,\therefore ∠AGE=∠EBC$.$\because DE⊥AC$于E,$\therefore AE=EC,\because ∠AEG=∠CEB,\therefore \triangle AEG\cong \triangle CEB(AAS),\therefore AG=BC$.
∴四边形ABCG是平行四边形,$\because ∠ABC=90^{\circ }$,
∴四边形ABCG是矩形. 

37. (8分)健身运动已成为时尚,某公司计划组装$A$,$B$两种型号的健身器材共40套,捐给社区健身中心. 组装一套$A$型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个, 组装一套$B$型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个. 公司现有甲种部件240个,乙种部件196个.
(1)公司在组装$A$,$B$两种型号的健身器材时,共有多少种组装方案?
(2)组装一套$A$型健身器材需费用20元,组装一套$B$型健身器材需费用18元,求总组装费用最少的组装方案,最少总组装费用是多少?

答案： 【解析】：
(1) 设组装A型健身器材$x$套，B型健身器材则为$40 - x$套。
根据题目条件，可以列出以下不等式组来确保部件数量足够：
$\begin{cases}7x + 3(40 - x) \leq 240, \\4x + 6(40 - x) \leq 196.\end{cases}$解第一个不等式 $7x + 3(40 - x) \leq 240$，得到：
$7x + 120 - 3x \leq 240$，
$4x \leq 120$，
$x \leq 30$。
解第二个不等式 $4x + 6(40 - x) \leq 196$，得到：
$4x + 240 - 6x \leq 196$，
$-2x \leq -44$，
$x \geq 22$。
综合两个不等式，得到 $x$ 的取值范围为 $22 \leq x \leq 30$。
由于 $x$ 必须是整数（不能组装非整数套健身器材），因此 $x$ 可以取 $22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30$，共有 9 种可能的取值。
所以，共有 9 种组装方案。
(2) 设总组装费用为 $W$ 元，根据题目条件，有：
$W = 20x + 18(40 - x) = 2x + 720$，
由于 $2 ＞ 0$，$W$ 随 $x$ 的增大而增大。
因此，当 $x = 22$ 时，$W$ 取得最小值。
此时，$W = 2 × 22 + 720 = 764$ 元。
所以，总组装费用最少的组装方案是组装 A 型健身器材 22 套，B 型健身器材 $40 - 22 = 18$ 套，最少总组装费用是 764 元。
【答案】：
(1) 共有 9 种组装方案。
(2) 最少总组装费用是 764 元，对应的组装方案是组装 A 型健身器材 22 套，B 型健身器材 18 套。