《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

33. (6分)如图,已知$\triangle A B C$是等腰三角形,$A B = A C$,$D是B C$边上的任意一点,且$D E \perp A B$,$D F \perp A C$,$C H \perp A B$,垂足分别为$E$、$F$、$H$,求证:$D E + D F = C H$.

证明：连接AD。
因为AB=AC，△ABC是等腰三角形，CH⊥AB，DE⊥AB，DF⊥AC，所以CH、DE、DF分别是△ABC、△ABD、△ACD的高。
根据三角形面积公式，S△ABC = S△ABD + S△ACD。
即：$\frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AB \cdot DE + \frac{1}{2}AC \cdot DF$。
由于AB=AC，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得CH = DE + DF。
故DE + DF = CH。

答案： 【解析】：连接AD。
因为AB=AC，△ABC是等腰三角形，CH⊥AB，DE⊥AB，DF⊥AC，所以CH、DE、DF分别是△ABC、△ABD、△ACD的高。
根据三角形面积公式，S△ABC = S△ABD + S△ACD。
即：$\frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AB \cdot DE + \frac{1}{2}AC \cdot DF$。
由于AB=AC，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得CH = DE + DF。
【答案】：DE + DF = CH

34. (8分)在菱形$A B C D$中,$A B = 4$,$\angle A B C = 60 ^ { \circ }$,$\angle E A F = 60 ^ { \circ }$,$\angle E A F的两边分别交B C$、$C D于点E$、$F$.
(1)如图,当点$E$、$F分别在边B C$、$C D$上时,求$C E + C F$的值;

(2)如图,当点$E$、$F分别在C B$、$D C$的延长线上时,$C E$、$C F$之间又存在怎样的关系? 并证明你的结论.

(1) 4
(2) $CE - CF = 4$

答案： 【解析】：
(1) 连接AC，
$\because$四边形ABCD是菱形，$\angle ABC=60^\circ$，
$\therefore \angle BCD=120^\circ$, $\angle ACF=\angle ACE=60^\circ$, $AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle CAB=60^\circ$，
$\therefore \angle EAF=60^\circ$，
$\therefore \angle CAF+\angle CAE=\angle BAE+\angle CAE=60^\circ$，
$\therefore \angle CAF=\angle BAE$，
$\because$在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle ACF, \\AB=AC, \\\angle BAE=\angle CAF.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACF (ASA)$，
$\therefore AE=AF$，$BE=CF$，
$\therefore \triangle AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF$，
$\because AB=BC=4$，
$\therefore CE+CF=CE+BE=BC=4$，
因此，$CE+CF$的值为4。
(2) $CE-CF=4$，证明：
$\because$四边形ABCD是菱形，$\angle ABC=60^\circ$，
$\therefore \angle BCD=120^\circ$, $\angle ACF=\angle ACE=60^\circ$, $AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle CAB=60^\circ$，
$\therefore \angle EAF=60^\circ$，
$\therefore \angle CAF+\angle BAF=\angle BAE+\angle BAF=60^\circ$，
$\therefore \angle CAF=\angle BAE$，
$\because$在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle ACF, \\AB=AC, \\\angle BAE=\angle CAF.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACF (ASA)$，
$\therefore AE=AF$，$BE=CF$，
$\therefore \triangle AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF$，
$\because BC=CD=4$，
$\therefore CE-CF=CE-BE=BC=4$。
【答案】：
(1) 4
(2) $CE-CF=4$