《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

27. (3分)先化简,再求值:$( x + 2 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) - 4 x ( x + 1 )$,其中$x = - \sqrt { 2 }$.

答案： 【解析】：首先，对原式进行化简。
$\begin{aligned}&(x + 2)^2 + (2x + 1)(2x - 1) - 4x(x + 1)\\=&x^2 + 4x + 4 + (4x^2 - 1) - (4x^2 + 4x)\\=&x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 1 - 4x^2 - 4x\\=&(x^2 + 4x^2 - 4x^2) + (4x - 4x) + (4 - 1)\\=&x^2 + 3\end{aligned}$
然后，将$x = -\sqrt{2}$代入化简后的式子$x^2 + 3$：
$(-\sqrt{2})^2 + 3 = 2 + 3 = 5$
【答案】：5

28. (3分)已知$4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x - 6 y + 10 = 0$,求$( \frac { 2 } { 3 } x \sqrt { 9 x } + y ^ { 2 } \sqrt { \frac { x } { y ^ { 3 } } } ) - ( x ^ { 2 } \sqrt { \frac { 1 } { x } } - 5 x \sqrt { \frac { y } { x } } )$的值.

答案： 【解析】：
首先，将给定的方程$4x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 10 = 0$进行配方，
得到$(2x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$。
由于平方项非负，所以$(2x - 1)^{2} = 0$和$(y - 3)^{2} = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$。
然后，对原式进行化简：
$\left( \frac{2}{3}x\sqrt{9x} + y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}} \right) - \left( x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}} \right)$
$= \frac{2}{3}x \cdot 3\sqrt{x} + y^{2} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{y^{2}} - x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + 5x \cdot \frac{\sqrt{xy}}{x}$
$= 2x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}$
$= x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy}$
最后，将$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$代入化简后的式子，
得到：$ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} + 6\sqrt{\frac{1}{2} × 3} = \frac{\sqrt{2}}{4} + 3\sqrt{6}$。
【答案】：$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3\sqrt{6}$。

29. (4分)如图,在$\triangle A B C$中,$A B = A C$,$\angle C = 30 ^ { \circ }$,$D A \perp A B于点A$,若$B C = 6 \mathrm { cm }$,求$A B$的长.

$AB$的长为$2\sqrt{3}\ \text{cm}$.

答案： 【解析】：因为在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$。根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
因为$DA\perp AB$，所以$\angle BAD = 90^{\circ}$，则$\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，所以$\angle DAC=\angle C$，故$\triangle ADC$是等腰三角形，$AD = CD$。
设$AB = AC = x\ \text{cm}$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}BD$，设$AD = CD = y\ \text{cm}$，则$BD = 2y\ \text{cm}$。
因为$BC=BD + CD=2y + y=3y=6\ \text{cm}$，所以$y = 2\ \text{cm}$，则$BD=4\ \text{cm}$，$AD = 2\ \text{cm}$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$，即$x^{2}+2^{2}=4^{2}$，$x^{2}=16 - 4=12$，解得$x = 2\sqrt{3}\ \text{cm}$（负值舍去），所以$AB$的长为$2\sqrt{3}\ \text{cm}$。
【答案】：$2\sqrt{3}\ \text{cm}$