《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

16. 化简:$( 7 + 5 \sqrt { 2 } ) ^ { 2012 } \cdot ( 7 - 5 \sqrt { 2 } ) ^ { 2013 } = $______7 - 5√2.

答案： 【解析】：
首先，我们考虑将原式拆分为两部分，使其具有相同的指数基数，从而便于利用平方差公式进行化简。
原式可以写为：
$(7 + 5\sqrt{2})^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})^{2013}$
$= (7 + 5\sqrt{2})^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})$
接下来，我们利用平方差公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 来化简前两部分：
$= [(7 + 5\sqrt{2}) \cdot (7 - 5\sqrt{2})]^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})$
$= (49 - 50)^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})$
由于 $49 - 50 = -1$，所以：
$= (-1)^{2012} \cdot (7 - 5\sqrt{2})$
$= 1 \cdot (7 - 5\sqrt{2})$
$= 7 - 5\sqrt{2}$
【答案】：
$7 - 5\sqrt{2}$

17. 一次函数$y = ( m + 2 ) x + 1$,若$y随x$的增大而增大,则$m$的取值范围是$m ＞ -2$.

答案： 【解析】：对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。在函数$y=(m + 2)x + 1$中，$k = m + 2$，因为$y$随$x$的增大而增大，所以$m + 2＞0$，解得$m＞-2$。
【答案】：$m ＞ -2$

18. 命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题为平行四边形的一组对边平行且相等.

答案： 【解析】：逆命题是将原命题的题设和结论互换得到的新命题。原命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”中，题设是“一个四边形的一组对边平行且相等”，结论是“这个四边形是平行四边形”。互换后，逆命题的题设为“一个四边形是平行四边形”，结论为“这个四边形的一组对边平行且相等”。
【答案】：平行四边形的一组对边平行且相等

19. 在平面直角坐标系中,将直线$y = - 2 x + 1$向下平移4个单位长度后,所得直线的解析式为$y = -2x - 3$.

答案： 【解析】：在平面直角坐标系中，直线平移遵循“上加下减”的规律，即对于直线$y = kx + b$，向下平移$m$个单位长度后，解析式变为$y = kx + b - m$。
原直线解析式为$y = -2x + 1$，向下平移$4$个单位长度，所以新的解析式为$y = -2x + 1 - 4$，化简可得$y = -2x - 3$。
【答案】：$y = -2x - 3$

20. 已知菱形的边长为5,一条对角线的长为8,则它的面积为______24.

答案： 【解析】：已知菱形的边长为5，一条对角线的长为8。设菱形的两条对角线分别为$d_1$和$d_2$，其中$d_1 = 8$。
菱形的对角线互相垂直且平分，所以两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为对角线的一半，即$\frac{d_1}{2} = 4$和$\frac{d_2}{2}$，斜边为菱形的边长5。
根据勾股定理，在直角三角形中：$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 边长^2$，代入已知数据可得：$4^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 5^2$，即$16 + (\frac{d_2}{2})^2 = 25$，解得$(\frac{d_2}{2})^2 = 9$，所以$\frac{d_2}{2} = 3$，则$d_2 = 6$。
菱形的面积公式为$\frac{1}{2} × d_1 × d_2$，代入$d_1 = 8$和$d_2 = 6$，可得面积为$\frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
【答案】：24

21. 如图,在$□ A B C D$中,对角线$A C与B D相交于点O$,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请添加一个条件,使$□ A B C D$变为矩形,需添加的条件是______$AC = BD$(写一个即可).

答案： 【解析】：要使平行四边形 $ABCD$ 变为矩形，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形。题目要求在不添加任何辅助线和字母的情况下添加条件，所以可以添加“$\angle ABC = 90^{\circ}$”（或其他内角为直角），或者“$AC = BD$”（对角线相等）。这里选择其中一个即可，例如“$AC = BD$”。
【答案】：$AC = BD$

22. 一次函数$y = k x + b$($k$为常数,且$k \neq 0$)的图象如图所示,则使$y ＞ 0成立的x$的取值范围为$x \lt -2$.

答案： 【解析】：
根据图象可知，一次函数$y = kx + b$与$x$轴的交点坐标为$(-2, 0)$，且函数值$y$随着$x$的增大而减小。
当$x = -2$时，$y = 0$。
因为函数$y$随着$x$的增大而减小，所以当$x \lt -2$时，$y \gt 0$。
【答案】：$x \lt -2$

23. 某班主任老师为了对学生乱花钱的现象进行教育指导, 对班里每位同学一周内大约花钱数额进行了统计,如下表:
|学生花钱数(元)|5|10|15|20|25|
|学生人数|7|12|18|10|3|
根据这个统计表可知,该班学生一周花钱数额的众数是15元,平均数是14元.

答案： 【解析】：
众数是一组数据中出现次数最多的数值。
从统计表中可以看到，花钱数额为15元的学生人数最多，有18人，所以众数是15元。
平均数的计算公式是$\text{平均数} = \frac{\text{所有数据的总和}}{\text{数据的个数}}$。
根据统计表，可以计算出总花钱数额和总人数，然后用总花钱数额除以总人数得到平均数。
总花钱数额为：$5 × 7 + 10 × 12 + 15 × 18 + 20 × 10 + 25 × 3 = 35 + 120 + 270 + 200 + 75 = 700 \text{(元)}$，
总人数为：$7 + 12 + 18 + 10 + 3 = 50\text{(人)}$，
所以平均数为：$\frac{700}{50} = 14 \text{(元)}$。
【答案】：15；14

24. 如图,在四边形$A B C D$中,对角线$A C \perp B D$,垂足为$O$,点$E$、$F$、$G$、$H分别为边A D$、$A B$、$B C$、$C D$的中点,若$A C = 8$,$B D = 6$,则四边形$E F G H$的面积为______12.

答案： 【解析】：
由于点$E$、$F$、$G$、$H$分别为边$AD$、$AB$、$BC$、$CD$的中点，
根据中点连线性质，有：
$EF$是$\bigtriangleup ABD$的中位线，$GH$是$\bigtriangleup BCD$的中位线，
$EH$是$\bigtriangleup ACD$的中位线，$FG$是$\bigtriangleup ABC$的中位线。
根据中位线性质可得：
$EF = \frac{1}{2}BD = 3$，$EH = \frac{1}{2}AC = 4$，
且$EF// BD// HG$，$EH// AC// FG$。
由于$AC\perp BD$，根据平行线的性质，可得：
$EF\perp EH$，$HG\perp EH$，$EF\perp FG$。
因此，四边形$EFGH$是一个矩形。
根据矩形的面积公式，面积$S = \text{长} × \text{宽}$，
所以，四边形$EFGH$的面积$S = EF × EH = 3 × 4 = 12$。
【答案】：12

25. 把一张矩形纸片(矩形$A B C D$)按如图的方式折叠,使顶点$B和点D$重合,折痕为$E F$.若$A B = 3 \mathrm { cm }$,$B C = 5 \mathrm { cm }$,则重叠部分$\triangle D E F$的面积是______5.1$\mathrm { cm } ^ { 2 }$.

答案： 【解析】：设 $ AE = x \, \text{cm} $，则 $ DE = AD - AE = (5 - x) \, \text{cm} $。
由折叠性质知 $ A'E = AE = x \, \text{cm} $，$ A'D = AB = 3 \, \text{cm} $，且 $ \angle A' = \angle A = 90^\circ $。
在 $ \text{Rt}\triangle A'ED $ 中，根据勾股定理：
$ A'E^2 + A'D^2 = DE^2 $
即 $ x^2 + 3^2 = (5 - x)^2 $，解得 $ x = \frac{8}{5} $。
因此 $ DE = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5} \, \text{cm} $。
设 $ CF = y \, \text{cm} $，则 $ BF = DF = (5 - y) \, \text{cm} $。
在 $ \text{Rt}\triangle CDF $ 中，根据勾股定理：
$ CF^2 + CD^2 = DF^2 $
即 $ y^2 + 3^2 = (5 - y)^2 $，解得 $ y = \frac{8}{5} $。
因此 $ BF = DF = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5} \, \text{cm} $。
由于 $ AD // BC $，得 $ \angle DEF = \angle BFE $，由折叠性质知 $ \angle BFE = \angle DFE $，故 $ \angle DEF = \angle DFE $，所以 $ DE = DF = \frac{17}{5} \, \text{cm} $。
$ \triangle DEF $ 中，以 $ DE $ 为底，高为 $ AB = 3 \, \text{cm} $，面积为：
$ S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × \frac{17}{5} × 3 = \frac{51}{10} = 5.1 \, \text{cm}^2 $
【答案】：5.1

26. (8分)计算:
(1)$\sqrt { 8 } + | \sqrt { 2 } - 1 | + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 0 }$;
(2)$( 3 \sqrt { 6 } - 2 \sqrt { 2 } ) ( \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } )$;
(3)$\sqrt { 48 } ÷ \sqrt { 3 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } × \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 }$;
(4)$\sqrt { \frac { 8 } { 3 } } + \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { 0.125 } - \sqrt { 6 } + \sqrt { 32 }$.

答案： 【解析】：
(1)
首先计算 $\sqrt{8}$，由于 $8 = 4 × 2$，所以 $\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$。
接着计算 $|\sqrt{2} - 1|$，由于 $\sqrt{2} ＞ 1$，所以 $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$。
最后计算 $(\frac{1}{2})^{0}$，任何非零数的0次方都是1，所以 $(\frac{1}{2})^{0} = 1$。
将这三部分相加，得到 $2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) + 1 = 3\sqrt{2}$。
(2)
利用乘法分配律展开：
$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{6}) = 3\sqrt{6} × \sqrt{2} + 3\sqrt{6} × \sqrt{6} - 2\sqrt{2} × \sqrt{2} - 2\sqrt{2} × \sqrt{6}$
$= 6\sqrt{3} + 18 - 4 - 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{3}$。
(3)
首先计算 $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}$，由于 $48 = 16 × 3$，所以 $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，因此 $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} = 4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} = 4$。
接着计算 $\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{12}$，由于 $12 = 4 × 3$，所以 $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，因此 $\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{6}$。
最后计算 $\sqrt{24}$，由于 $24 = 4 × 6$，所以 $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
将这三部分组合起来，得到 $4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4 + \sqrt{6}$。
(4)
首先化简各个二次根式：
$\sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$，
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sqrt{0.125} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，
$\sqrt{6}$ 保持不变，
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
将这五部分相加，得到 $\frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{6} + 4\sqrt{2} = \frac{19\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】：
(1) $3\sqrt{2}$；
(2) $14 + 2\sqrt{3}$；
(3) $4 + \sqrt{6}$；
(4) $\frac{19\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{3}$。