《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

32. (10分)国庆期间,为了满足百姓的消费需求,某商店计划用170000元购进一批家电,这批家电的进价和售价如下表:
| 类别 | 彩电 | 冰箱 | 洗衣机 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 进价(元/台) | 2000 | 1600 | 1000 |
| 售价(元/台) | 2300 | 1800 | 1100 |
若在现有资金允许的范围内, 购买表中三类家电共100台, 其中彩电台数是冰箱台数的2倍,设该商店购买冰箱$x$台.
(1)商店至多可以购买冰箱多少台?
(2)购买冰箱多少台时,能使商店销售完这批家电后获得的利润最大? 最大利润为多少元?

答案：
(1)根据题意,得$2000\cdot 2x+1600x+1000(100-3x)≤170000$,
解得$x≤26\frac{12}{13},\because x$为正整数,$\therefore x$至多为 26,
答:商店至多可以购买冰箱 26 台.
(2)设商店销售完这批家电后获得的利润为 y 元,
则$y=(2300-2000)2x+(1800-1600)x+(1100-1000)(100-3x)=500x+10000,\because k=500＞0,\therefore y$随x的增大而增大,
$\because x≤26\frac{12}{13}$且x为正整数,$\therefore$ 当$x=26$时,y有最大值,最大值为$500×26+10000=23000$,
答:购买冰箱 26 台时,能使商店销售完这批家电后获得的利润最大,最大利润为 23 000 元.

33. (10分)如图(1),在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,分别以$AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED$,连接$AD、CF,AD与CF交于点M$.
(1)求证:$\triangle ABD \cong \triangle FBC$;
$\because$ 四边形 ABFG、BCED 是正方形,$\therefore AB=FB,CB=DB$,$∠ABF=∠CBD=90^{\circ },\therefore ∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC$,即$∠ABD=∠CBF$.在$△ABD$和$△FBC$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABD=∠CBF,\\ DB=CB,\end{array}\right.$$\therefore △ABD\cong △FBC(SAS)$
(2)如图(2),求证:$AM^2 + MF^2 = AF^2$.
$\because △ABD\cong △FBC,\therefore ∠BAD=∠BFC$,$\therefore ∠AMF=180^{\circ }-∠BAD-∠CNA=180^{\circ }-(∠BFC+∠BNF)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },\therefore △AMF$是直角三角形.$\therefore AM^{2}+MF^{2}=AF^{2}$

答案：
(1)$\because$ 四边形 ABFG、BCED 是正方形,$\therefore AB=FB,CB=DB$,
$∠ABF=∠CBD=90^{\circ },\therefore ∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC$,
即$∠ABD=∠CBF$.
在$△ABD$和$△FBC$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABD=∠CBF,\\ DB=CB,\end{array}\right.$
$\therefore △ABD\cong △FBC(SAS)$.
(2)$\because △ABD\cong △FBC,\therefore ∠BAD=∠BFC$,
$\therefore ∠AMF=180^{\circ }-∠BAD-∠CNA=180^{\circ }-(∠BFC+∠BNF)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },\therefore △AMF$是直角三角形.$\therefore AM^{2}+MF^{2}=AF^{2}$.