《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

11. 甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,球拍每副定价$50$元,乒乓球每盒定价$10$元. “十一”期间,两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠$2$盒乒乓球；乙商店规定所有商品$9$折优惠. 某校乒乓球队需要$2$副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于$4$盒). 设该校要买乒乓球$x$盒,所需商品在甲商店购买需要$y_{1}$元,在乙商店购买需要$y_{2}$元. 请分别写出$y_{1},y_{2}关于x$的函数解析式,并对$x$的取值情况进行分析,说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜.

答案：
解法 1：由题意知，在甲商店购买所需商品可获赠 4 盒乒乓球，因此还需购买 $ (x - 4) $ 盒乒乓球，所以 $ y_1 = 10(x - 4) + 50×$2 = $ 10x + 60 $，即 $ y_1 = 10x + 60(x \geq 4) $．
因为乙商店规定所有商品 9 折优惠$，所以 y_2 = 0.9(10x + 5×2) = 9x + 90 $，即 $ y_2 = 9x + 90(x \geq 4) $．
在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如图 1 所示．
解方程组 $ \begin{cases} y = 10x + 60 \\ y = 9x + 90 \end{cases} $，得 $ \begin{cases} x = 3 \\ y = 360 \end{cases} $
故两函数图象交于点 $ (30, 360) $．
由图象可知：当 $ 4 \leq x ＜ 30 $ 时，$ 10x + 60 ＜ 9x + 90 $；当 $ x = 30 $ 时，$ 10x + 60 = 9x + 90 $；当 $ x ＞ 30 $ 时，$ 10x + 60 ＞ 9x + 90 $．
所以当 $ 4 \leq x ＜ 30 $ 时，在甲商店购买所需商品比较便宜；当 $ x = 30 $ 时，在甲商店购买所需商品与在乙商店购买所需商品价钱一样；当 $ x ＞ 30 $ 时，在乙商店购买所需商品比较便宜．
解法 2：设在乙商店购买所需商品与在甲商店购买所需商品所用价钱的差额为 $ y $ 元．
由题意，得 $ y = (9x + 90) - (10x + 60) = -x + 30(x \geq 4) $
在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，如图 2 所示．


当 $ y = 0 $ 时，$ x = 30 $，即 $ y = -x + 30 $ 与 $ x $ 轴的交点是 $ (30, 0) $．
由图象可知，当 $ 4 \leq x ＜ 30 $ 时，$ y ＞ 0 $，即在甲商店购买所需商品比较便宜；当 $ x = 30 $ 时，$ y = 0 $，即在甲商店购买所需商品与在乙商店购买所需商品价钱一样；当 $ x ＞ 30 $ 时，$ y ＜ 0 $，即在乙商店购买所需商品比较便宜．

12. 某地发生灾情后某市组织$20$辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共$100$吨到灾区同胞安置点,按计划$20$辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满. 根据下表提供的信息,解答下列问题：
|物资种类|食品|药品|生活用品|
|每辆汽车运载量/吨|6|5|4|
|每吨所需运费/元|120|160|100|
(1)设装运食品的车辆数为$x$,装运药品的车辆数为$y$,求$y关于x$的函数解析式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于$5$辆,装运药品的车辆数不少于$4$辆,那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案.
(3)在(2)的条件下,若要求总运费最少,应采取哪种安排方案？并求出最少总运费.

答案：
(1) 因为装运食品的车辆数为 $ x $，装运药品的车辆数为 $ y $，所以装运生活用品的车辆数为 $ 20 - x - y $。
由题意，得 $ 6x + 5y + 4(20 - x - y) = 100 $。
整理，得 $ y = -2x + 20 $。
故 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y = -2x + 20 $。
(2) 由
(1) 知，装运食品、药品、生活用品三种物资的车辆数分别为 $ x $，$ 20 - 2x $，$ x $，由题意，得 $ \begin{cases} x \geq 5 \\ 20 - 2x \geq 4 \end{cases} $，解得 $ 5 \leq x \leq 8 $。
因为 $ x $ 为整数，所以 $ x $ 的值为 5，6，7，8。
故安排方案有如下 4 种：
方案 1：5 辆车装运食品，10 辆车装运药品，5 辆车装运生活用品；
方案 2：6 辆车装运食品，8 辆车装运药品，6 辆车装运生活用品；
方案 3：7 辆车装运食品，6 辆车装运药品，7 辆车装运生活用品；
方案 4：8 辆车装运食品，4 辆车装运药品，8 辆车装运生活用品。
(3) 设总运费为 $ W $ 元，则 $ W = 120×6x + 160×5(20 - 2x) + 100×4x = -480x + 16000 $。
因为 $ k = -480 ＜ 0 $，所以 $ W $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小。
要使总运费 $ W $ 最少，则 $ x = 8 $，即选方案 4，此时 $ W_{最小值} = -480×8 + 16000 = 12160 $，即最少总运费为 12160 元。

小明算得正确吗
爸爸准备为小明买一双新的运动鞋,但要小明自己算出穿几“码”的鞋. 小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米,爸爸41码的鞋子长25.5厘米. 那么自己穿的21.5厘米长的鞋子是几码呢？
想了一下,小明动笔了：
设鞋子的长是x厘米,鞋子的码数是y,那么y与x的函数关系可能是y = kx + b(k≠0).
这里有两个待定系数：k和b. 小明把妈妈和爸爸所穿鞋子的长度和码数两组对应值代入上式,得$\begin{cases}23k + b = 36,\\25.5k + b = 41.\end{cases} $
解这个方程组,得$\begin{cases}k = 2,\\b = - 10.\end{cases} $所以y和x的函数关系式可能是y = 2x - 10.
小明想了想,又去隔壁问了小东哥哥,了解到他那38码的鞋子长24厘米,回来代入检验,恰好适合所得的函数关系式,小明高兴地说：“对了,对了！”并很快算出了自己鞋子的码数：2×21.5 - 10 = 33.
小明的假设和计算是否正确呢？正确

答案： 【解析】：
首先，小明假设鞋子的码数$y$与鞋子的长度$x$之间存在线性关系，即$y = kx + b$，这是一个合理的假设，因为在实际问题中，很多变量之间的关系都可以近似为线性关系。
然后，小明利用妈妈和爸爸的鞋子长度和码数两组对应值，代入线性关系式，得到了一个关于$k$和$b$的二元一次方程组。解这个方程组，小明得到了$k$和$b$的值，从而确定了$y$和$x$的函数关系式。
接着，小明用小东哥哥的鞋子长度和码数进行了检验，发现所得的函数关系式是正确的，这说明小明的假设和计算是合理的。
最后，小明利用所得的函数关系式，算出了自己鞋子的码数。
所以，小明的假设和计算是正确的。
【答案】：
正确。